中心极限定理（Central Limit Theorem，CLT）是概率论中的一个重要定理，它说明了在某些条件下，独立随机变量的和（或平均值）趋向于正态分布的性质。具体来说，中心极限定理可以描述为：
定理表述：
设 ( X 1 , X 2 , ... , X n ) ( X_1, X_2, \dots, X_n ) (X1,X2,...,Xn) 是一组相互独立、服从相同分布的随机变量，其数学期望为 μ \mu μ，方差为 σ 2 \sigma^2 σ2（有限且不为零）。那么，当 n n n 足够大时，这组随机变量的标准化和：
Z n = ∑ i = 1 n X i − n μ n σ Z_n = \frac{\sum_{i=1}^n X_i - n\mu}{\sqrt{n}\sigma} Zn=n σ∑i=1nXi−nμ
的分布将近似服从标准正态分布，即：
Z n ⟶ d N ( 0 , 1 ) Z_n \overset{d}{\longrightarrow} N(0, 1) Zn⟶dN(0,1)
其中， N ( 0 , 1 ) N(0, 1) N(0,1)表示期望为 0、方差为 1 的标准正态分布， ⟶ d \overset{d}{\longrightarrow} ⟶d表示按分布收敛。
重要性：
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应用广泛：中心极限定理为统计推断提供了理论基础，特别是在样本量足够大时，它允许我们使用正态分布来近似计算各种分布的抽样分布。
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无需知道原始分布：即使我们不知道个体随机变量的具体分布，只要满足一定条件，我们仍然可以使用正态分布进行近似计算。
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实际应用：在许多实际问题中，数据往往来自不同的分布，但只要样本量足够大，其样本均值往往接近于正态分布，这使得中心极限定理在实际应用中非常有用。
举例说明：
假设你在投掷硬币，如果你重复投掷多次，并记录正面朝上的次数，这些结果的均值会随着投掷次数的增加趋向于正态分布。这就是中心极限定理的一个直观应用。
中心极限定理在统计学、经济学、物理学等领域有着广泛的应用，是理解和分析数据分布的重要工具。