线性代数 第一讲 行列式
文章目录
- [线性代数 第一讲 行列式](#线性代数 第一讲 行列式)
- [1. 行列式的定义](#1. 行列式的定义)
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- [1.1 本质定义(几何定义)](#1.1 本质定义(几何定义))
- [1.2 行列式的逆序数表示法(第二种定义)](#1.2 行列式的逆序数表示法(第二种定义))
- [1.3 行列式的展开定理(第三种定义）](#1.3 行列式的展开定理(第三种定义）)
- 2.行列式的性质
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- [2.1 矩阵行列式的性质](#2.1 矩阵行列式的性质)
- [2.2 方阵行列式的性质](#2.2 方阵行列式的性质)
- 3.行列式的计算
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- [3.1 具体型行列式的计算](#3.1 具体型行列式的计算)
- [3.2 抽象型行列式的计算](#3.2 抽象型行列式的计算)
- [3.3 常用的行列式(加速计算)](#3.3 常用的行列式(加速计算))
- 4.重难点题型总结
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- [4.1 行列式中关于某项计算的题目(某项系数，常数项)](#4.1 行列式中关于某项计算的题目(某项系数，常数项))
- [4.2 抽象行列式计算的经典题目](#4.2 抽象行列式计算的经典题目)
- [4.3 补E恒等变形](#4.3 补E恒等变形)
- [4.4 代数余子式与余子式相关](#4.4 代数余子式与余子式相关)
- [4.5 行列式内为加法如，|A+B| ｜A+E｜](#4.5 行列式内为加法如，|A+B| ｜A+E｜)
- [4.6 计算n阶行列式](#4.6 计算n阶行列式)
1. 行列式的定义
1.1 本质定义(几何定义)
⭐️学习目的：更好的理解行列式
行列式是一个数，从几何的角度来说，二阶行列式，就是由两个二维向量为邻边的平行四边形面积，三阶行列式是以这三个向量为邻边的平行六边形的体积。
由此我们不难得出，如果两个向量是线性相关的，它组不成一个平行四边形，面积=0，行列式就是0，如果面积不是0，那么他们是线性无关的，可以推广到n阶行列式
1.2 行列式的逆序数表示法(第二种定义)
⭐️学习目的：解决n阶行列式的计算问题，但是由于方法比较复杂，多用于高阶行列式的某一项如何书写。逆序数的计算要掌握，通过逆序数的计算能得到具体某一项的正负
n阶行列式的定义:一共n!项，每项都要取到不同行不同列的元素（每项由n个数组成）！
该项正负由逆序数决定。逆序数是偶数，该项为正数，逆序数是奇数，该项为负数。
求逆序数的例子，
如a~12~a~31~a~54~a~43~a~25~,先整理a~12~a~25~a~31~a~43~a~54~ ，逆序数ζ（25134）,2大于1算一个，5大于134算三个，其他正序，3+1=4（偶数）故为正。
1.3 行列式的展开定理(第三种定义）
⭐️学习目的：计算三阶以上行列式，用逆序数表示法很复杂，用展开定理，本质是降阶的思想可以很好的解决。
余子式:元素a~ij~，余子式记做M~ij~，求法是去掉i行j列，剩下元素按原来的位置组成的降一阶的行列式.
代数余子式:代数余子式，记做A~ij~=（-1）的i+j次方乘上M~ij~.
展开计算行列式:行列式的某行(列）元素乘上对应的代数余子式，最后加和.
2.行列式的性质
2.1 矩阵行列式的性质
2.2 方阵行列式的性质
3.行列式的计算
3.1 具体型行列式的计算
1.某行或某列中0多，考虑直接展开
2.爪形化成上下三角行列式计算
3.看不出类型的行列式化成爪形再化成上下三角行列式（通过逐行计算的方式）
4.0的位置规则，化成拉普拉斯
5.行和相等的行列式(加到某一行或某一列)，提出公共部分。
3.2 抽象型行列式的计算
1.使用用性质进行一些转换，再进行计算
2.使用矩阵运算(搭配观察法)
3.补E矩阵
3.3 常用的行列式(加速计算)
⭐️学习目的：通过学习常见的行列式，看到常用的行列式就可以直接算出答案，或者将不常用的行列式化成常用的行列式。
助记:记忆拉普拉斯可以通过主副对角线来记忆，0矩阵在主对角上，一个或两个，不用加负号，反之在负对角，加负号。
4.重难点题型总结
4.1 行列式中关于某项计算的题目(某项系数，常数项)
- 展开式分析
- 用逆序
4.2 抽象行列式计算的经典题目
4.3 补E恒等变形
4.4 代数余子式与余子式相关
4.5 行列式内为加法如，|A+B| ｜A+E｜
因为行列式性质中并没有内部为加法的运算。
所以该类问题的核心是处理矩阵，处理矩阵再求其行列式，或者把和的形式根据题目条件写成积的形式。
4.6 计算n阶行列式
计算n阶行列式的题目看着很复杂，看到这类问题，不妨写出一个他的5阶行列式，根据这个行列式去找规律，找递推公式，找联系，即可解决问题。
总结来源:
880 第7章行列式 基础篇解答题3-4