目录
[1. 二叉树的顺序结构](#1. 二叉树的顺序结构)
[2. 堆的概念及结构](#2. 堆的概念及结构)
[3. 堆的实现](#3. 堆的实现)
[3.1 堆的结构](#3.1 堆的结构)
[3.2 堆的初始化](#3.2 堆的初始化)
[3.3 堆的插入](#3.3 堆的插入)
[3.4 堆的删除](#3.4 堆的删除)
[3.5 获取堆顶数据](#3.5 获取堆顶数据)
[3.6 堆的判空](#3.6 堆的判空)
[3.7 堆的数据个数](#3.7 堆的数据个数)
[3.8 堆的销毁](#3.8 堆的销毁)
[4. 堆的应用](#4. 堆的应用)
[4.1 堆排序](#4.1 堆排序)
[4.1.1 向下调整建堆的时间复杂度](#4.1.1 向下调整建堆的时间复杂度)
[4.1.2 向上调整建堆的时间复杂度](#4.1.2 向上调整建堆的时间复杂度)
[4.2 TOP-K问题](#4.2 TOP-K问题)
[5. 选择题](#5. 选择题)
1. 二叉树的顺序结构
普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。
完全二叉树更适合使用顺序结构存储。
通常把堆(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储。
2. 堆的概念及结构
将根节点最大的堆叫做大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做小堆或小根堆。
大堆：树的任何一个父亲都大于等于他的孩子。
小堆：树的任何一个父亲都小于等于他的孩子。
堆总是一棵完全二叉树。
3. 堆的实现
3.1 堆的结构
- 堆本质是一个数组。
cpptypedef int HeapDataType; typedef struct Heap { HeapDataType* arr; //指向数组 size_t size; //数据个数 size_t capacity; //容量 }Heap;
3.2 堆的初始化
传入的堆指针不能为空。
将数组指针置空，容量和个数置0。
cppvoid HeapInit(Heap* ph) { //1. 传入的堆指针不能为空。 assert(ph); //2. 将数组指针置空，容量和个数置0。 ph->arr = NULL; ph->size = ph->capacity = 0; }
3.3 堆的插入
插入一个数就是在数组尾插，插入前是堆，插入后不一定是堆，需要检测。
插入一个数只会对它所在的路径有影响，需要用向上调整算法。
假设原本是小堆，那么新插入的数和他的父亲比较，比他父亲小就交换，然后继续往上比较，直到变成根位置。
最好的情况是不用调整，最坏的情况是调整到根位置。
代码实现：
传入的堆指针不能为空。
插入前判断需不需要扩容。
最后一个位置插入，然后size++。
插入后使用向上调整算法。
向上调整算法：
下标关系：parent = (child-1) / 2。
假设是小堆，当孩子小于父亲，孩子和父亲的值交换，孩子再走到父亲的位置继续向上比较，如果孩子大于等于父亲就直接break不用比较了，或者孩子到根位置结束。
cppvoid Swap(HeapDataType* h1, HeapDataType* h2) { HeapDataType tmp = *h1; *h1 = *h2; *h2 = tmp; } void AdjustUp(HeapDataType* arr, int child) { int parent = (child - 1) / 2; //孩子到根位置结束 while (child) { //1. 小堆：当孩子小于父亲，孩子和父亲的值交换。 if (arr[child] < arr[parent]) Swap(&arr[child], &arr[parent]); //2. 如果孩子大于等于父亲就直接break不用比较了 else break; //3. 孩子再走到父亲的位置继续向上比较 child = parent; parent = (child - 1) / 2; } } void HeapPush(Heap* ph, HeapDataType data) { //1. 传入的堆指针不能为空。 assert(ph); //2. 插入前判断需不需要扩容。 size_t capacity = ph->capacity == 0 ? 4 : ph->capacity * 2; HeapDataType* tmp = realloc(ph->arr, sizeof(HeapDataType) * capacity); if (tmp == NULL) { perror("realloc"); return; } ph->arr = tmp; ph->capacity = capacity; //3. 最后一个位置插入，然后size++。 ph->arr[ph->size++] = data; //4. 插入后使用向上调整算法。 AdjustUp(ph->arr, ph->size - 1); }
插入的时间复杂度：
插入的最坏情况就是从叶子一直走到根，也就是树的高度，假设节点数为N，完全二叉树的节点范围是2^(h-1)到2^h - 1，2^(h-1) = N 或 2^h - 1 = N, 可得h = logN(2为底) + 1 或 h = log(N+1)(2为底)，所以O(N) = logN(2为底)。
插入的时间复杂度主要看向上调整算法，同理删除主要看向下调整算法，它们的时间复杂度都是logN,以2为底。
3.4 堆的删除
传入的堆指针不能为空。
堆不能为空。
删除是删堆顶的数据，先将堆顶数据和最后一个数据交换，然后删除最后一个数据。
从堆顶数据开始向下调整，使用向下调整算法的前提：左子树和右子树是堆。
向下调整算法：
假设是小堆，child = parent*2 + 1，先假设左孩子是小的，再将左孩子和右孩子比一下，谁小谁就是child。记得判断一下右孩子是否存在。
parent 和 child 比较，parent比child大就交换，然后parent走到child的位置继续往下比较，直到比child小或没有child。
cppvoid AdjustDown(HeapDataType* arr, int size, int parent) { //小堆：先假设左孩子是小的，再将左孩子和右孩子比一下，谁小谁就是child。记得判断一下右孩子是否存在。 int child = parent * 2 + 1; while (child < size) { //1. 小堆：parent和较小的孩子比较 if (child + 1 < size && arr[child + 1] < arr[child]) child++; //2. parent 和 child 比较，parent比child大就交换 if (arr[parent] > arr[child]) Swap(&arr[parent], &arr[child]); else break; //3. 然后parent走到child的位置继续往下比较 parent = child; child = parent * 2 + 1; } } void HeapPop(Heap* ph) { //1. 传入的堆指针不能为空。 assert(ph); //2. 堆不能为空。 assert(!HeapEmpty(ph)); //3. 删除是删堆顶的数据，先将堆顶数据和最后一个数据交换，然后删除最后一个数据。 Swap(&ph->arr[0], &ph->arr[ph->size - 1]); ph->size--; //4. 从堆顶数据开始向下调整。 AdjustDown(ph->arr, ph->size, 0); }
3.5 获取堆顶数据
传入的堆指针不能为空。
堆不能为空。
返回数组第一个元素。
cppHeapDataType HeapTop(Heap* ph) { //1. 传入的堆指针不能为空。 assert(ph); //2. 堆不能为空。 assert(!HeapEmpty(ph)); //3. 返回数组第一个元素。 return ph->arr[0]; }
3.6 堆的判空
传入的堆指针不能为空。
判断size是否为0，空返回真。
cppbool HeapEmpty(Heap* ph) { //1. 传入的堆指针不能为空。 assert(ph); //2. 判断size是否为0，空返回真。 return ph->size == 0; }
3.7 堆的数据个数
传入的堆指针不能为空。
返回size。
cppint HeapSize(Heap* ph) { //1. 传入的堆指针不能为空。 assert(ph); //2. 返回size。 return ph->size; }
3.8 堆的销毁
cppvoid HeapDestroy(Heap* ph) { assert(ph); free(ph->arr); ph->size = ph->capacity = 0; }
完整代码：Heap/Heap · 林宇恒/DataStructure - 码云 - 开源中国 (gitee.com)
4. 堆的应用
4.1 堆排序
堆排序利用堆的思想来进行排序，总共分为两个步骤：
第一步：建堆。
用向上调整算法建堆
从第二个元素开始，将每个元素看作堆的插入向上调整。
升序建大堆，降序建小堆。
用向下调整算法建堆
叶子节点是不需要向下调整的，所以是从最后一个父亲节点开始向下调整。
然后继续找前面的父亲节点向下调整直到第一个节点调整完。
第二步：利用堆删除的思想来进行排序。
将首尾数据交换。
交换到后面的数据是我们想要的不动，交换到堆顶的数据开始做向下调整。
每交换一次，需要调整的个数就减一，直到剩下一个时就不用调整了。
cppvoid HeapSort(int* arr, int len) { //第一步：建堆。 //从第二个元素开始，将每个元素看作堆的插入向上调整。 //升序建大堆，降序建小堆。 for (int i = 1; i < len; i++) AdjustUp(arr, i); //向下调整建堆 //parent = (child-1) / 2, 这里最后一个child是len-1 for (int i = (len - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--) AdjustDown(arr, len, i); //第二步：利用堆删除的思想来进行排序。 int end = len - 1; while (end>0) { //首尾数据交换 Swap(&arr[0], &arr[end]); //首数据向下调整，这里传入end指的是调整end前面的数据。 AdjustDown(arr, end, 0); //调整完后最后一个位置交换后不用调整。 end--; } }
**排升序不建小堆的原因：**当我们建完小堆，也就是找出了最小的一个，那我们要从剩下的数据找第二小的，这样又需要重新建小堆。
4.1.1 向下调整建堆的时间复杂度
从最后一个父亲节点开始则所有节点移动的总步数为：
F(n) = 2^0*(h-1) + 2^1*(h-2) + ... + 2^(h-2)*1 + 2^(h-1)*0
错位相减可得：F(n) = -2^0*h + 2^0*1 + 2^1*1 + ... + 2^(h-2)*1 + 2^(h-1)*1
再次错位相减可得：F(n) = 2^h - 1 - h
又因节点个数n和高度h的关系是(视为满二叉树)：n = 2^h -1，h = log(n+1)(2为底)
所以F(n) = n - log(n+1)(2为底)
时间复杂度也就是所有节点移动的总步数：O(n) = n
4.1.2 向上调整建堆的时间复杂度
从第二个节点开始，则所有节点移动的总步数为：
F(n) = 2^1*1 + 2^2*2 + 2^3*3 + ... + 2^(h-1)*(h-1)
错位相减得：F(n) = -2^1 - 2^2 - 2^3 - ... - 2^(h-1) - 2^h + 2^h*h
再次错位相减得：F(n) = 2^h*(h-2) + 2
又因节点个数n和高度h的关系是(视为满二叉树)：n = 2^h -1
所以F(n) = (n+1)(log(n+1)(2为底) - 2) + 2
时间复杂度也就是所有节点移动的总步数：O(n) = n*logn(2为底)
4.2 TOP-K问题
TOP-K问题：求前K个最大或最小的元素，比如：专业前10名、游戏中前100的活跃玩家等。
将前K个数据建堆，求前K个最大的数据就建小堆，反之亦然。
从第K个数据开始往后，每个数据都和堆顶比较。
假设求前K个最大的数据，那么当后面的数据比堆顶数据大时就覆盖堆顶数据然后向下调整，反之亦然。
cpp//造数据 void CreateData() { //打开文件 FILE* mtof = fopen("data.txt", "w"); if (mtof == NULL) { perror("fopen"); return; } //随机生成数据写入文件 srand((unsigned int)time(NULL)); for (int i = 0; i < 10; i++) fprintf(mtof, "%d\n", rand() % 100); //关闭文件 fclose(mtof); } //求前K个最大 void TopK(int k) { //打开文件 FILE* ftom = fopen("data.txt", "r"); if (ftom == NULL) { perror("fopen"); return; } //将文件数据读进内存 int* HeapArr = (int*)malloc(sizeof(int) * k); if (HeapArr == NULL) { perror("malloc"); return; } for (int i=0; i<k; i++) fscanf(ftom, "%d", &HeapArr[i]); //1. 将前K个数据建堆。 for (int i=((k-1)-1)/2; i>=0; i--) AdjustDown(HeapArr, k, i); //2. 从第K个数据开始，每个数据都和堆顶比较 int val; while (!feof(ftom)) { fscanf(ftom, "%d", &val); //如果比堆顶大就覆盖堆顶，然后向下调整 if (val > HeapArr[0]) { HeapArr[0] = val; AdjustDown(HeapArr, k, 0); } } //关闭文件 fclose(ftom); }
5. 选择题
1.下列关键字序列为堆的是：()
A 100,60,70,50,32,65
B 60,70,65,50,32,100
C 65,100,70,32,50,60
D 70,65,100,32,50,60
E 32,50,100,70,65,60
F 50,100,70,65,60,32
答：A
2.已知小根堆为8,15,10,21,34,16,12，删除关键字 8 之后需重建堆，在此过程中，关键字之间的比较次数是()。A 1
B 2
C 3
D 4
答：C
3.一组记录排序码为(5 11 7 2 3 17),则利用堆排序方法建立的初始堆为A(11 5 7 2 3 17)
B(11 5 7 2 17 3)
C(17 11 7 2 3 5)
D(17 11 7 5 3 2)
E(17 7 11 3 5 2)
F(17 7 11 3 2 5)
答：C
4.最小堆[0,3,2,5,7,4,6,8],在删除堆顶元素0之后，其结果是()A[3，2，5，7，4，6，8]
B[2，3，5，7，4，6，8]
C[2，3，4，5，7，8，6]
D[2，3，4，5，6，7，8]
答：C