在数字信号处理领域，FIR（Finite Impulse Response）数字滤波器是一种非常重要的工具。它具有线性相位、稳定性好等优点，被广泛应用于通信、音频处理、图像处理等领域。
今天介绍一下并行 FIR 数字滤波器的原理以及实现。
一、FIR数字滤波器原理解析
1、数字滤波器
数字滤波器是数字信号处理领域的核心组件，它们对信号进行数学处理以增强或抑制某些特性。
数字滤波器按照其结构设计可分为两大类：有限冲激响应（FIR）和无限冲激响应（IIR）滤波器。
FIR滤波器以其线性相位和较高的资源消耗而闻名；而IIR滤波器则以非线性相位和较低的资源消耗为特点。
线性相位：表示信号的相位变化呈现线性关系，从而保障了信号的时延特性得到精确的保持。
非线性相位：不同频率成分的信号在输入时保持的相对相位差，通过线性相位系统处理后，这些相对相位差仍然保持不变。
对于相位信息敏感的应用场景，如调制和解调过程，需要使用FIR滤波器；
对于关注特定频率成分的应用场景，不关心相位信息，比如单一频率成分的提取，为了优化资源使用，可以优先考虑IIR滤波器。
2、FIR数字滤波器
有限冲激响应（FIR）滤波器因其稳定性、线性相位特性以及无反馈结构而广受欢迎。
FIR 数字滤波器是一种离散时间系统，其输出信号是输入信号与滤波器系数的线性卷积。对于一个长度（抽头数）为 N 、阶次为N-1的 FIR 滤波器，其输入信号为 x(n)，输出信号为 y(n)，则有：
其中，h(k)是滤波器系数。
从公式中，可以看出，完成一次滤波运算需要N次乘法和N−1次加法。
FIR滤波器常见的实现结构有直接型、级联型、频率取样型等，其中"直接型"结构适合FPGA实现，也就是直接由卷积公式得到。
3、并行FIR滤波器
（1）结构特点
由多个处理单元同时对输入信号进行处理。每个处理单元通常对应一个滤波器系数，输入信号同时与各个系数相乘，然后将乘积结果累加得到输出。
可以采用多个乘法器和加法器并行工作，以提高处理速度。
（2）性能优势
处理速度快。由于多个处理单元同时工作，可以在较短的时间内完成对输入信号的滤波处理。
适合高速实时信号处理应用，如高速数据通信、图像处理等领域。
（3）实现难点
硬件资源消耗较大。
需要多个乘法器和加法器，以及相应的控制逻辑，这会增加硬件成本和设计复杂度。
二、Python计算滤波器系数
1、FIR滤波器设计示例
设计一个2kHz采样，500Hz截止的15阶低通滤波器（h(n)长度为16），过渡带500~600Hz的FIR滤波器，量化位数为12bit，输入信号位宽也为12bit。
2、Python代码
from scipy.signal import firwin, freqz
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
# 设计参数
fs = 2000 # 采样频率2kHz
cutoff = 500 # 截止频率500Hz
transition_width = 100 # 过渡带宽500Hz到600Hz
numtaps = 16 # 滤波器阶数15，加上直流项，总共16个系数
quantization_bits = 12 # 量化位数12bit
# 设计FIR低通滤波器
h = firwin(numtaps, cutoff, fs=fs, window='hamming', pass_zero='lowpass')
# 量化滤波器系数
quantized_h = np.round(h * (2**quantization_bits - 1)).astype(int)
# 频率响应
w, h_freq = freqz(h, worN=8000)
w_quantized, h_freq_quantized = freqz(quantized_h, worN=8000)
# 绘制滤波器频率响应
plt.figure(figsize=(12, 6))
plt.plot(0.5*fs*w/np.pi, np.abs(h_freq), 'b', label='原始滤波器响应')
plt.plot(0.5*fs*w_quantized/np.pi, np.abs(h_freq_quantized), 'r', label='量化后滤波器响应')
plt.axvline(cutoff, color='k', linestyle='--', label='截止频率')
plt.xlabel('频率 (Hz)')
plt.ylabel('幅度')
plt.title('15阶低通滤波器的频率响应')
plt.legend()
plt.grid()
plt.show()
# 返回量化后的滤波器系数
quantized_h.tolist()3、实现效果
滤波器系数：
-10, -17, 39, 82, -155, -285, 562, 1831, 1831, 562, -285, -155, 82, 39, -17, -10
上图为滤波器的频率响应，蓝色曲线表示原始滤波器响应，红色曲线表示量化后的滤波器响应。黑色虚线表示截止频率。
三、FPGA实现
1、确定滤波器参数
（1）选择滤波器的类型，如低通、高通、带通等，以满足特定的信号处理需求。
（2）确定滤波器的阶数，阶数越高，滤波效果通常越好，但也会增加计算复杂度和硬件资源需求。
（3）确定滤波器的系数，这些系数决定了滤波器的频率响应特性。可以通过理论计算、设计工具或实验调整来确定合适的系数。
2、FPGA设计关键逻辑
从Python中计算FIR滤波器系数是对称的，16个滤波器系数只需要8个乘法器即可。
同时将输入系数与滤波器系数相乘，最后计算总和即可得滤波信号。
总的计算逻辑不复杂，需要注意的是有符号数运算。
篇幅限制，后续再补充代码。
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