- 时间序列在回归预测的领域的重要性，不言而喻，在数学建模中使用及其频繁，但是你真的了解ARIMA、AR、MA么？ACF图你会看么？？ 时间序列数据如何构造？？？，我打过不少数学建模，但是都没有弄得很清楚；
- 这篇将详细讲解了基础模型---AR的原理.
文章目录
1、自回归(AR)详解
1、简要说明
- 什么是自回归？？
自回归：通过过去的数据预测当下的数据，是一个时间序列的基础模型，但是很有效，能够有效的捕捉数据随着时间的变化趋势。
- 举例解释：
在日常生活中，我们知道一般情况下，当下的气温和前几天的温度是有关系的，比如说这3天很热，明天大概率也会很热，自回归(AR)就是这样的模型，通过前几天的气温预测今天的气温，如：
- 今天：20度，记为a，前天：18度，记为b，大前天：22度，记为c，需要预测明天的气温
- 明天气温 = k~1~ * a + k~2~ * b + k~3~* c + 随机误差， k~1~ 、 k~2~ 、k~3~ 是权重，这个可以通过计算得出。
2、原理讲解
自回归公式(很像多元线性回归)：
y t = c + ϕ 1 y t − 1 + ϕ 2 y t − 2 + ⋯ + ϕ p y t − p + ϵ t y_t=c+\phi_1y_{t-1}+\phi_2y_{t-2}+\cdots+\phi_py_{t-p}+\epsilon_t yt=c+ϕ1yt−1+ϕ2yt−2+⋯+ϕpyt−p+ϵt
- ϕ p \phi_p ϕp这是自回归系数 ，表示当下p个时间点 的数据对要预测的y~t~ 这个时间点的重要程度；
- c：常数项，就如我们一元回归方差，
y = ax + b中的那个b； - ϵ t \epsilon_t ϵt：误差项，用来随机生成数据，模拟波动，让预测效果更加贴近实际；
- p：滞后阶数，表示用前p个数来预测当前的数据。
通过自回归公式，我当时一眼一看，这不就是多元线性回归 么？实际也确实是，只是他添加类误差项而已，实际求解的时候，也是通过最小二乘回归求解系数的。
下面是一个用自回归去探究气温的一组案例，需要关注点有两个如下：
- 怎么构造时间数据？？？
- 怎么利用最小二乘回归去求解系数？？？
3、ACF图
通过查看数的ACF图，在不同用领域有不同的用处，如下：
- 白噪声过程 ：时间序列是随机的，
没有可预测的结构，即数据之间没有关系。 - 模型拟合良好 ：模型已经
很好地捕捉了数据中的所有相关信息，残差是随机的。 - 数据本身没有自相关性 ：数据中的每个观测值都是
独立的，没有时间上的依赖关系。 - 数据预处理的影响 ：预处理
有效地去除了数据中的自相关性。
2、案例
数据：该数据描述的是这几百年的地球平均气温，下载地址：kaggle；
目的：大陆平均气温数据的探究，更加理解AR原理以及数学公式。
1、数据预处理
1、导入库
python
import numpy as np
import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.model_selection import train_test_split2、读取数据且预处理
python
data_df = pd.read_csv('GlobalTemperatures.csv')
data_df| | dt | LandAverageTemperature | LandAverageTemperatureUncertainty | LandMaxTemperature | LandMaxTemperatureUncertainty | LandMinTemperature | LandMinTemperatureUncertainty | LandAndOceanAverageTemperature | LandAndOceanAverageTemperatureUncertainty |
| 0 | 1750-01-01 | 3.034 | 3.574 | NaN | NaN | NaN | NaN | NaN | NaN |
| 1 | 1750-02-01 | 3.083 | 3.702 | NaN | NaN | NaN | NaN | NaN | NaN |
| 2 | 1750-03-01 | 5.626 | 3.076 | NaN | NaN | NaN | NaN | NaN | NaN |
| 3 | 1750-04-01 | 8.490 | 2.451 | NaN | NaN | NaN | NaN | NaN | NaN |
| 4 | 1750-05-01 | 11.573 | 2.072 | NaN | NaN | NaN | NaN | NaN | NaN |
| ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... | ... |
| 3187 | 2015-08-01 | 14.755 | 0.072 | 20.699 | 0.110 | 9.005 | 0.170 | 17.589 | 0.057 |
| 3188 | 2015-09-01 | 12.999 | 0.079 | 18.845 | 0.088 | 7.199 | 0.229 | 17.049 | 0.058 |
| 3189 | 2015-10-01 | 10.801 | 0.102 | 16.450 | 0.059 | 5.232 | 0.115 | 16.290 | 0.062 |
| 3190 | 2015-11-01 | 7.433 | 0.119 | 12.892 | 0.093 | 2.157 | 0.106 | 15.252 | 0.063 |
| 3191 | 2015-12-01 | 5.518 | 0.100 | 10.725 | 0.154 | 0.287 | 0.099 | 14.774 | 0.062 |
|---|
3192 rows × 9 columns
python
# 只保留日期和LanAverageTemperatrue
data_df = data_df[['dt', 'LandAverageTemperature']]
python
# 查看数据信息
data_df.info()<class 'pandas.core.frame.DataFrame'>
RangeIndex: 3192 entries, 0 to 3191
Data columns (total 2 columns):
# Column Non-Null Count Dtype
--- ------ -------------- -----
0 dt 3192 non-null object
1 LandAverageTemperature 3180 non-null float64
dtypes: float64(1), object(1)
memory usage: 50.0+ KB
python
# 缺失值较少，采用前置填充方法
data_df = data_df.fillna(method='ffill')
python
# 时间转化为datatime格式
data_df['dt'] = pd.to_datetime(data_df['dt'])
# 按照日期排序，确保日期按照顺序
data_df = data_df.sort_values(by='dt')
python
# 设置日期索引，方便快速查询
data_df.set_index('dt', inplace=True)
# 为了更方便后面展示，这里选取最近1000条数据，全部展示，后面绘图，全都堆到一起
data_df = data_df.tail(1000)2、实现自回归模型
python
# 深刻理解代码
def create_lagged_features(data, lag):
x = []
y = []
for i in range(lag, len(data)):
x.append(data[i - lag : i])
y.append(data[i])
return np.array(x), np.array(y)
python
# 使用 5 阶(联系数学公式) 自回归模型
lag = 5
# 提取特征值，目标值(也就是自变量，因变量)
all_temperature_data = data_df['LandAverageTemperature'].values
python
# 获取自变量、因变量
X, Y = create_lagged_features(all_temperature_data, lag)
# 分割数据集
x_train, x_test, y_train, y_test = train_test_split(X, Y, test_size=0.2, random_state=42)在实际应用中，我们通常会先添加常数项 ，然后再计算回归系数，因为这样可以保证模型能够捕捉到数据的全局趋势。
python
# 使用最小二乘法拟合 自回归 模型
def fit_regresiion(x_train, y_train):
# 添加常数项, b(结合公式)，添加一项，为了适应维度
x_train = np.c_[np.ones(x_train.shape[0]), x_train]
# 计算回归系数，结合公式 np.linalg.inv 求逆
beta = np.linalg.inv(x_train.T @ x_train) @ x_train.T @ y_train
return beta
python
# 拟合，得到回归系数
beta = fit_regresiion(x_train, y_train)
beta输出：
array([ 5.07449781, -0.04255702, -0.22825367, -0.2961153 , 0.06135681,
0.93721175])
3、模型预测
python
def predict_ar_model(x, beta):
# 添加常数项
x = np.c_[np.ones(x.shape[0]), x] # 添加常数项
# 预测
y_pred = x @ beta # 自己相乘，结合公式
return y_pred
# 测试集、训练集测试
y_pred_train = predict_ar_model(x_train, beta)
y_predict_test = predict_ar_model(x_test, beta)4、数据分析和可视化
1、原始数据时间序列图
python
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(data_df.index, data_df['LandAverageTemperature'], color='orange', label='Temperature')
plt.title('Global Land Average Temperature Over Time')
plt.xlabel('Year')
plt.ylabel('Temperature')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()
2、训练集和测试集的预测结构对比图
python
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(y_train, label='Actual Train', color='blue')
plt.plot(y_pred_train, label='Predicr Train', color='red', linestyle='dashed')
plt.title('AR Model')
plt.xlabel('Time')
plt.ylabel('Temperature')
plt.grid(True)
plt.show()
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(y_test, label='Actual Test', color='blue')
plt.plot(y_predict_test, label='Predicr Test', color='red', linestyle='dashed')
plt.title('AR Model')
plt.xlabel('Time')
plt.ylabel('Temperature')
plt.grid(True)
plt.show()
3、残差分析
残差图分析误差
python
residual = y_test - y_predict_test # 残差计算
plt.figure(figsize=(10, 6))
plt.plot(residual, color='green', label='Residual')
plt.title('Residual of AR on Test Data')
plt.xlabel('Time')
plt.ylabel('Residual')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()
4、正相关(ACF)
检查残差的自相关性，查看是存在未捕捉时间特征
python
from statsmodels.graphics.tsaplots import plot_acf
plt.figure(figsize=(10, 6))
plot_acf(residual, lags=50) # 展示前50个滞后
plt.title('ACF OF RESIDUAL')
plt.grid(True)
plt.show()<Figure size 1000x600 with 0 Axes>
- 默认置信区间，显著性水平是5%
- acf图中，值接近为0，几乎全在置信区间内，说明残差数据之间没有关系，残差是随机的，模型有效的捕捉到了时间特征
5、结果分析
python
from sklearn.metrics import mean_squared_error, r2_score
mse = mean_squared_error(y_test, y_predict_test)
r2 = r2_score(y_test, y_predict_test)
print('mse: ', mse)
print('r2', r2)mse: 0.19718326089184698
r2 0.9889418324562267
- 综上说明模型有效挖掘了天气的规律