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欢迎 点赞👍 收藏✨ 留言✉ 加关注💓本文由 C++忠实粉丝 原创前缀和(8)_矩阵区域和
收录于专栏【经典算法练习】
本专栏旨在分享学习算法的一点学习笔记，欢迎大家在评论区交流讨论💌
目录
[1. 题目链接 :](#1. 题目链接 :)
[2. 题目描述 :](#2. 题目描述 :)
[3. 解法(二维前缀和) :](#3. 解法(二维前缀和) :)
[算法思路 :](#算法思路 :)
[1. 求二维前缀和](#1. 求二维前缀和)
[2. 使用二维前缀和](#2. 使用二维前缀和)
[代码展示 :](#代码展示 :)
[结果分析 :](#结果分析 :)
温馨提示:
本题需要使用二维前缀和模板,如果大家还不知道的话,可以查看下篇博客:
1. 题目链接 :
OJ链接: 矩阵区域和
2. 题目描述 :
给你一个 m x n 的矩阵 mat 和一个整数 k ，请你返回一个矩阵 answer ，其中每个 answerij 是所有满足下述条件的元素 matrc 的和：
i - k <= r <= i + k,
j - k <= c <= j + k 且
(r, c) 在矩阵内。
示例 1：
输入：mat = \[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9], k = 1
输出： \[12, 21, 16, 27, 45, 33, 24, 39, 28]
示例 2：
输入：mat = \[1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9], k = 2
输出： \[45, 45, 45, 45, 45, 45, 45, 45, 45]
提示：
m == mat.length
n == mati.length
1 <= m, n, k <= 100
1 <= matij <= 100
3. 解法(二维前缀和) :
题目解释:
就是目标点向四周延申k个,然后求出在合法区间的总和
算法思路 :
二维前缀和的简单应用题,关键就是我们在填写结果矩阵的时候,要找到原矩阵对应区域的左上角以及右下角的坐标(推荐大家画图)
左上角坐标: x1 = i - k, y1 = j - k, 但是由于会超过矩阵的范围,因此需要对0取一个max.因此修正后的坐标为: x2 = min(m - 1, i + k) y2 = min(n - 1, j + k)
然后将求出出来的坐标带入到二位前缀和矩阵的计算公式上即可~(但是要注意下标的映射关系,放到下面分析)
二位前缀和模板快速记忆:
1. 求二维前缀和
首先划出草图,我们这里的思路是:
将当前整个面积分成dpx - 1y + dpxy - 1 + numsxy
因为dpx - 1y - 1多加了一次,我们需要在减去一次dpx - 1y - 1
公式为 : dpxy = dpx - 1y + dpxy - 1 + numsxy - dpx - 1y - 1
2. 使用二维前缀和
首先划出草图,我们这里的思路是:
将当前整个面积分成dpx1 - 1y1 - 1 dpx2y1 - 1 dpx1 - 1y2
公式为 : ret = dpx2y2 - dpx1 - 1y2 - dpx2y1 -1 + dpx1 -1y1 - 1
细节处理:
下标的映射关系:
因为题目原数组从0开始,我们的二维前缀和数组需要访问-1的位置,这样就会导致访问未知内存程序崩溃,所以我们可以将第0行第0列不填数,规避这道题的边界问题.
代码展示 :
cpp
class Solution {
public:
vector<vector<int>> matrixBlockSum(vector<vector<int>>& mat, int k) {
int n = mat.size(), m = mat[0].size();
vector<vector<int>> dp(n + 1, vector<int> (m + 1));
//求前缀和
for(int i = 1; i <= n; i++)
for(int j = 1; j <= m; j++)
dp[i][j] = dp[i - 1][j] + dp[i][j - 1] + mat[i - 1][j - 1] - dp[i - 1][j - 1];
//使用前缀和
vector<vector<int>> ret(n, vector<int> (m));
for(int i = 0; i < n; i++)
for(int j = 0; j < m; j++)
{
int x1 = max(0, i - k) + 1, y1 = max(0, j - k) + 1;
int x2 = min(n - 1, i + k) + 1, y2 = min(m - 1, j + k) + 1;
ret[i][j] = dp[x2][y2] - dp[x1- 1][y2] - dp[x2][y1 - 1] + dp[x1 - 1][y1 - 1];
}
return ret;
}
};代码分析:
前缀和计算：
使用 dp 数组来存储 mat 的前缀和。dpij 表示从 mat00 到 mati - 1j - 1 的所有元素的和。
前缀和的公式为：
dpij = dpi−1j + dpij−1 + mati−1j−1−dpi−1j−1这样，dp 数组的每个元素能够快速计算出任意子矩阵的和。
块和计算：使用前缀和 dp 来计算每个元素的块和：
计算块的边界：
左上角(x1, y1) 为(max(0, i - k) + 1, max(0, j - k) + 1)
右下角(x2, y2) 为(min(n - 1, i + k) + 1, min(m - 1, j + k) + 1)利用前缀和公式来计算块和：
块和 = dpx2y2−dpx1−1y2−dpx2y1−1 + dpx1−1y1−1
结果存储：将每个块的和存储在 ret 数组中，并最终返回。
结果分析 :
时间复杂度
前缀和的计算时间复杂度为O(n×m)，因为需要遍历整个矩阵一次。
计算每个元素的块和的时间复杂度也是O(n×m)，同样是遍历整个矩阵一次。
因此，总的时间复杂度为：O(n×m)
空间复杂度dp 数组的大小为(n + 1)×(m + 1)，因此空间复杂度为O(n×m)。
ret 数组的大小为n×m，也为O(n×m)。
因此，总的空间复杂度也是：O(n×m)