封面 1
作者简介 2
数字版权声明 3
扉页 4
版权页 5
写给读者的话 6
如何使用本书 9
目录 14
第一部分 一般性理论 21
第1章 引言 22
1.1 生日问题 23
1.1.1 陈述问题 23
1.1.2 解决问题 26
1.1.3 对问题和答案的推广：效率 31
1.1.4 数值检验 34
1.2 从投篮到几何级数 36
1.2.1 问题和解答 36
1.2.2 相关问题 42
1.2.3 一般问题的解决技巧 45
1.3 赌博 48
1.3.1 2008年超级碗赌注 49
1.3.2 预期收益 49
1.3.3 对冲的价值 51
1.3.4 结论 52
1.4 总结 53
1.5 习题 55
第2章 基本概率定律 61
2.1 悖论 62
2.2 集合论综述 64
2.2.1 编程漫谈 68
2.2.2 无穷大的大小和概率 70
2.2.3 开集和闭集 72
2.3 结果空间、事件和概率公理 74
2.4 概率公理 79
2.5 基本概率规则 81
2.5.1 全概率公式 82
2.5.2 并的概率 83
2.5.3 包含的概率 86
2.6 概率空间和? 代数 87
2.7 附录：实验性地找出规律 92
2.7.1 乘积求导法则 93
2.7.2 并的概率 94
2.8 总结 95
2.9 习题 95
第3章 计数I：纸牌 100
3.1 阶乘和二项式系数 101
3.1.1 阶乘函数 101
3.1.2 二项式系数 105
3.1.3 总结 110
3.2 扑克牌 110
3.2.1 规则 111
3.2.2 最小牌型 113
3.2.3 对子 115
3.2.4 两对 118
3.2.5 三条 119
3.2.6 顺子、同花和同花顺 119
3.2.7 葫芦和铁支 120
3.2.8 扑克牌型练习I 122
3.2.9 扑克牌型练习II 123
3.3 单人纸牌 125
3.3.1 克朗代克纸牌 125
3.3.2 Aces Up纸牌 128
3.3.3 《空当接龙》 130
3.4 桥牌 132
3.4.1 井字游戏 133
3.4.2 桥牌牌局的个数 135
3.4.3 将牌的分配 141
3.5 附录：计算概率的代码 145
3.5.1 将牌的分配和代码 145
3.5.2 扑克牌型的代码 147
3.6 总结 150
3.7 习题 150
第4章 条件概率、独立性和贝叶斯定理 154
4.1 条件概率 155
4.1.1 猜测条件概率公式 157
4.1.2 期望计数法 158
4.1.3 文氏图法 160
4.1.4 蒙提霍尔问题 161
4.2 一般乘法法则 162
4.2.1 陈述 162
4.2.2 扑克牌的例子 163
4.2.3 帽子问题和纠错码 164
4.2.4 高等注解：条件概率的定义 165
4.3 独立性 166
4.4 贝叶斯定理 168
4.5 划分和全概率法则 174
4.6 回顾贝叶斯定理 177
4.7 总结 178
4.8 习题 178
第5章 计数II：容斥原理 182
5.1 阶乘和二项式问题 183
5.1.1 "有多少个"与"概率是什么" 183
5.1.2 选组 185
5.1.3 循环次序 186
5.1.4 选择套装 188
5.2 容斥方法 190
5.2.1 容斥原理的特例 190
5.2.2 容斥原理的陈述 193
5.2.3 容斥公式的证明 195
5.2.4 利用容斥原理：同花色牌型 197
5.2.5 从"至少"到"恰好"的方法 200
5.3 错排 202
5.3.1 错排的个数 203
5.3.2 错排数的概率 204
5.3.3 错排试验的代码 205
5.3.4 错排的应用 207
5.4 总结 208
第6章 计数III：高等组合学 213
6.1 基本计数 214
6.1.1 枚举法I 214
6.1.2 枚举法II 215
6.1.3 有放回抽样和无放回抽样 219
6.2 单词排序 227
6.2.1 排序方法数 228
6.2.2 多项式系数 230
6.3 划分 233
6.3.1 饼干问题 233
6.3.2 彩票 236
6.3.3 其他划分 240
6.4 总结 243
6.5 习题 243
第二部分 随机变量 247
第7章 离散型随机变量 248
7.1 离散型随机变量：定义 248
7.2 离散型随机变量：概率密度函数 250
7.3 离散型随机变量：累积分布函数 253
7.4 总结 261
7.5 习题 263
第8章 连续型随机变量 266
8.1 微积分基本定理 267
8.2 概率密度函数和累积分布函数：定义 269
8.3 概率密度函数和累积分布函数：例子 271
8.4 单元素事件的概率 276
8.5 总结 278
8.6 习题 279
第9章 工具：期望 282
9.1 微积分预备知识 283
9.2 期望值和矩 285
9.3 均值和方差 288
9.4 联合分布 293
9.5 期望的线性性质 297
9.6 均值和方差的性质 302
9.7 偏斜度与峰度 307
9.8 协方差 307
9.9 总结 308
9.10 习题 309
第10章 工具：卷积和变量替换 312
10.1 卷积：定义和性质 313
10.2 卷积：掷骰子的例子 316
10.2.1 理论计算 316
10.2.2 卷积码 317
10.3 多变量的卷积 318
10.4 变量替换公式：叙述 321
10.5 变量替换公式：证明 325
10.6 附录：随机变量的乘积与商 329
10.6.1 乘积的概率密度函数 330
10.6.2 商的概率密度函数 331
10.6.3 例子：指数分布的商 331
10.7 总结 333
10.8 习题 333
第11章 工具：微分恒等式 337
11.1 几何级数的例子 338
11.2 微分恒等式法 341
11.3 在二项分布随机变量上的应用 342
11.4 在正态分布随机变量上的应用 346
11.5 在指数分布随机变量上的应用 348
11.6 总结 350
11.7 习题 351
第三部分 特殊分布 353
第12章 离散分布 354
12.1 伯努利分布 354
12.2 二项分布 355
12.3 多项分布 359
12.4 几何分布 361
12.5 负二项分布 363
12.6 泊松分布 367
12.7 离散均匀分布 370
12.8 习题 373
第13章 连续型随机变量：均匀分布与指数分布 377
13.1 均匀分布 377
13.1.1 均值和方差 378
13.1.2 服从均匀分布的随机变量之和 379
13.1.3 例子 382
13.1.4 均匀地生成随机数 384
13.2 指数分布 385
13.2.1 均值和方差 386
13.2.2 服从指数分布的随机变量之和 389
13.2.3 服从指数分布的随机变量的例子与应用 392
13.2.4 从指数分布中生成随机数 393
13.3 习题 396
第14章 连续型随机变量：正态分布 399
14.1 确定标准化常数 400
14.2 均值和方差 403
14.3 服从正态分布的随机变量之和 406
14.3.1 情形1：μ_X=μ_Y = 0 且σ^2X=σ^2Y=1 408
14.3.2 情形2：一般化的μ_X、μ_Y 和σ^2X、σ^2Y 410
14.3.3 两个服从正态分布的随机变量之和：更快的代数运算 413
14.4 从正态分布中生成随机数 414
14.5 例子与中心极限定理 420
14.6 习题 421
第15章 伽马函数与相关分布 425
15.1 Γ(s) 的存在性 425
15.2 Γ((s) 的函数方程 427
15.3 阶乘函数与Γ(s) 431
15.4 Γ(s) 的特殊值 432
15.5 贝塔函数与伽马函数 434
15.5.1 基本关系式的证明 435
15.5.2 基本关系式和Γ(1=2) 437
15.6 正态分布与伽马函数 438
15.7 分布族 439
15.8 附录：余割等式的证明 441
15.8.1 余割等式：第一种证明 441
15.8.2 余割等式：第二种证明 445
15.8.3 余割等式：s = 1/2 的特殊情形 447
15.9 柯西分布 449
15.10 习题 451
第16章 卡方分布 453
16.1 卡方分布的起源 454
16.2 X ~ χ2(1) 的均值与方差 456
16.3 卡方分布与服从正态分布的随机变量之和 457
16.3.1 直接积分求平方和 459
16.3.2 利用变量替换定理求平方和 460
16.3.3 卷积法求平方和 464
16.3.4 服从卡方分布的随机变量之和 466
16.4 总结 467
16.5 习题 469
第四部分 极限定理 471
第17章 不等式和大数定律 472
17.1 不等式 472
17.2 马尔可夫不等式 474
17.3 切比雪夫不等式 476
17.3.1 陈述 476
17.3.2 证明 478
17.3.3 正态分布与均匀分布的例子 480
17.3.4 指数分布的例子 481
17.4 布尔不等式与邦弗伦尼不等式 482
17.5 收敛类型 484
17.5.1 依分布收敛 484
17.5.2 依概率收敛 486
17.5.3 几乎必然收敛与必然收敛 486
17.6 弱大数定律与强大数定律 487
17.7 习题 488
第18章 斯特林公式 492
18.1 斯特林公式与概率 494
18.2 斯特林公式与级数的收敛性 496
18.3 从斯特林公式到中心极限定理 497
18.4 积分判别法与较弱的斯特林公式 501
18.5 得到斯特林公式的基本方法 504
18.5.1 二进分解 504
18.5.2 斯特林公式的下界I 506
18.5.3 斯特林公式的下界II 508
18.5.4 斯特林公式的下界III 510
18.6 静态相位与斯特林公式 511
18.7 中心极限定理与斯特林公式 512
18.8 习题 514
第19章 生成函数与卷积 516
19.1 动机 516
19.2 定义 518
19.3 生成函数的唯一性和收敛性 523
19.4 卷积I：离散型随机变量 524
19.5 卷积II：连续型随机变量 528
19.6 矩母函数的定义与性质 534
19.7 矩母函数的应用 541
19.8 习题 545
第20章 中心极限定理的证明 547
20.1 证明的关键思路 547
20.2 中心极限定理的陈述 549
20.3 均值、方差与标准差 551
20.4 标准化 552
20.5 矩母函数的相关结果 556
20.6 特殊情形：服从泊松分布的随机变量之和 558
20.7 利用MGF证明一般的CLT 561
20.8 使用中心极限定理 563
20.9 中心极限定理与蒙特卡罗积分 564
20.10 总结 566
20.11 习题 567
第21章 傅里叶分析与中心极限定理 572
21.1 积分变换 573
21.2 卷积与概率论 577
21.3 中心极限定理的证明 580
21.4 总结 583
21.5 习题 584
第五部分 其他主题 587
第22章 假设检验 588
22.1 Z检验 589
22.1.1 原假设与备择假设 589
22.1.2 显著性水平 590
22.1.3 检验统计量 592
22.1.4 单侧检验与双侧检验 595
22.2 p值 598
22.2.1 非凡的主张与p值 598
22.2.2 大的p值 599
22.2.3 关于p值的误解 599
22.3 t检验 601
22.3.1 估算样本方差 601
22.3.2 从z检验到t检验 602
22.4 假设检验的问题 605
22.4.1 I型错误 605
22.4.2 II型错误 605
22.4.3 错误率与司法系统 606
22.4.4 功效 607
22.4.5 效应量 608
22.5 卡方分布、拟合优度 608
22.5.1 卡方分布与方差检验 609
22.5.2 卡方分布与t分布 612
22.5.3 列表数据的拟合优度 613
22.6 双样本检验 615
22.6.1 双样本z检验：方差已知 615
22.6.2 双样本t检验：方差未知但相等 618
22.6.3 方差未知且不相等 619
22.7 总结 621
22.8 习题 622
第23章 差分方程、马尔可夫过程和概率论 624
23.1 从斐波那契数到轮盘赌 624
23.1.1 翻倍加一策略 624
23.1.2 对斐波那契数的快速回顾 626
23.1.3 递推关系与概率 628
23.1.4 讨论与推广 629
23.1.5 轮盘赌问题的代码 630
23.2 递推关系的一般理论 632
23.2.1 表示法 632
23.2.2 特征方程 632
23.2.3 初始条件 634
23.2.4 关于不同根意味着可逆性的证明 636
23.3 马尔可夫过程 637
23.3.1 递推关系与种群动力学 637
23.3.2 一般的马尔可夫过程 639
23.4 总结 640
23.5 习题 640
第24章 最小二乘法 642
24.1 问题的描述 642
24.2 概率论与统计学回顾 643
24.3 最小二乘法 645
24.4 习题 649
第25章 两个著名问题与一些代码 652
25.1 婚姻/秘书问题 652
25.1.1 假设与策略 652
25.1.2 成功的概率 653
25.1.3 秘书问题的代码 657
25.2 蒙提霍尔问题 659
25.2.1 一个简单的解决方案 659
25.2.2 一种极端情形 660
25.2.3 蒙提霍尔问题的代码 661
25.3 两个随机程序 662
25.3.1 有放回取样与无放回取样 662
25.3.2 期望 663
25.4 习题 664
附录A 证明技巧 666
A.1 如何阅读证明 666
A.2 归纳法证明 668
A.2.1 整数之和 670
A.2.2 整除 672
A.2.3 二项式定理 673
A.2.4 斐波那契数模2 674
A.2.5 错误的归纳法证明 675
A.3 分组证明 676
A.4 利用对称性证明 677
A.5 蛮力证明 680
A.6 通过比较或故事来证明 681
A.7 反证法 683
A.8 穷举法(分治法) 684
A.9 举反例证明 686
A.10 通过推广例子来证明 686
A.11 狄利克雷鸽巢原理 687
A.12 添加0或乘以1的证明法 689
附录B 分析学结果 692
B.1 介值定理与中值定理 692
B.2 极限、求导和积分次序的交换 695
B.2.1 交换次序: 定理 695
B.2.2 交换次序: 例子 696
B.3 级数的收敛性判别法 699
B.4 大O表示法 702
B.5 指数函数 704
B.6 柯西--施瓦兹不等式的证明 707
B.7 习题 708
附录C 可数集与不可数集 710
C.1 集合的大小 710
C.2 可数集 712
C.3 不可数集 715
C.4 有理数集的长度 717
C.5 康托尔集的长度 718
C.6 习题 719
附录D 复分析与中心极限定理 721
D.1 来自实分析的警告 721
D.2 复分析与拓扑定义 723
D.3 复分析与矩母函数 728
D.4 习题 732
版权声明 733