【数据结构与算法】B树

3.5 B 树

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请用中文回答：B-树历史

请用中文回答：100万的数据使用 avl 树来存储，树高是多少?

请用中文回答：100万的数据，如果存储到B-树(最小度数是500)，那么树高大约是多少?

请用中文回答：B-树的特性有哪些？

概述

历史

B树（B-Tree）结构是一种高效存储和查询数据的方法，它的历史可以追溯到1970年代早期。B树的发明人Rudolf Bayer和Edward M. McCreight分别发表了一篇论文介绍了B树。这篇论文是1972年发表于《ACM Transactions on Database Systems》中的，题目为"Organization and Maintenance of Large Ordered Indexes"。

这篇论文提出了一种能够高效地维护大型有序索引的方法，这种方法的主要思想是将每个节点扩展成多个子节点，以减少查找所需的次数。B树结构非常适合应用于磁盘等大型存储器的高效操作，被广泛应用于关系数据库和文件系统中。

B树结构有很多变种和升级版，例如B+树，B*树和SB树等。这些变种和升级版本都基于B树的核心思想，通过调整B树的参数和结构，提高了B树在不同场景下的性能表现。

总的来说，B树结构是一个非常重要的数据结构，为高效存储和查询大量数据提供了可靠的方法。它的历史可以追溯到上个世纪70年代，而且在今天仍然被广泛应用于各种场景。

B 的含义

B-树的名称是由其发明者Rudolf Bayer提出的。Bayer和McCreight从未解释B代表什么，人们提出了许多可能的解释，比如Boeing、balanced、between、broad、bushy和Bayer等。但McCreight表示，越是思考B-trees中的B代表什么，就越能更好地理解B-trees

特性

一棵 B-树具有以下性质

特性1：每个节点 x 具有

属性 n，表示节点 x 中 key 的个数
属性 leaf，表示节点是否是叶子节点
节点 key 可以有多个，以升序存储

特性2：每个非叶子节点中的孩子数是 n + 1、叶子节点没有孩子

特性3：最小度数t（节点的孩子数称为度）和节点中键数量的关系如下：

最小度数t	键数量范围
2	1 ~ 3
3	2 ~ 5
4	3 ~ 7
...	...
n	(n-1) ~ (2n-1)

其中，当节点中键数量达到其最大值时，即 3、5、7 ... 2n-1，需要分裂

特性4：叶子节点的深度都相同

问：

B-树为什么有最小度数的限制？

答：

B树中有最小度数的限制是为了保证B树的平衡特性。

在B树中，每个节点都可以有多个子节点，这使得B树可以存储大量的键值，但也带来了一些问题。如果节点的子节点数量太少，那么就可能导致B树的高度过高，从而降低了B树的效率。此外，如果节点的子节点数量太多，那么就可能导致节点的搜索、插入和删除操作变得复杂和低效。

最小度数的限制通过限制节点的子节点数量，来平衡这些问题。在B树中，每个节点的子节点数量都必须在一定的范围内，即t到2t之间（其中t为最小度数）

B-树与 2-3 树、2-3-4 树的关系

可以这样总结它们之间的关系：

2-3树是最小度数为2的B树，其中每个节点可以包含2个或3个子节点。
2-3-4树是最小度数为2的B树的一种特殊情况，其中每个节点可以包含2个、3个或4个子节点。
B树是一种更加一般化的平衡树，可以适应不同的应用场景，其节点可以包含任意数量的键值，节点的度数取决于最小度数t的设定。

实现

定义节点

java 复制代码

static class Node {
    boolean leaf = true;
    int keyNumber;
    int t;
    int[] keys;
    Node[] children;    

    public Node(int t) {
        this.t = t;
        this.keys = new int[2 * t - 1];
        this.children = new Node[2 * t];
    }
    
    @Override
    public String toString() {
        return Arrays.toString(Arrays.copyOfRange(keys, 0, keyNumber));
    }
}

leaf 表示是否为叶子节点
keyNumber 为 keys 中有效 key 数目
t 为最小度数，它决定了节点中key 的最小、最大数目，分别是 t-1 和 2t-1
keys 存储此节点的 key
children 存储此节点的 child
toString 只是为了方便调试和测试，非必须

实际 keys 应当改为 entries 以便同时保存 key 和 value，刚开始简化实现

多路查找

为上面节点类添加 get 方法

java 复制代码

Node get(int key) {
    int i = 0;
    while (i < keyNumber && keys[i] < key) {
        i++;
    }
    if (i < keyNumber && keys[i] == key) {
        return this;
    }
    if (leaf) {
        return null;
    }
    return children[i].get(key);
}

插入 key 和 child

为上面节点类添加 insertKey 和 insertChild 方法

java 复制代码

void insertKey(int key, int index) {
    System.arraycopy(keys, index, keys, index + 1, keyNumber - index);
    keys[index] = key;
    keyNumber++;
}

void insertChild(Node child, int index) {
    System.arraycopy(children, index, children, index + 1, keyNumber - index);
    children[index] = child;
}

作用是向 keys 数组或 children 数组指定 index 处插入新数据，注意

由于使用了静态数组，并且不会在新增或删除时改变它的大小，因此需要额外的 keyNumber 来指定数组内有效 key 的数目
- 插入时 keyNumber++
- 删除时减少 keyNumber 的值即可
children 不会单独维护数目，它比 keys 多一个
如果这两个方法同时调用，注意它们的先后顺序，insertChild 后调用，因为它计算复制元素个数时用到了 keyNumber

定义树

java 复制代码

public class BTree {
    final int t;
    final int MIN_KEY_NUMBER;
    final int MAX_KEY_NUMBER;
    Node root;

    public BTree() {
        this(2);
    }

    public BTree(int t) {
        this.t = t;
        MIN_KEY_NUMBER = t - 1;
        MAX_KEY_NUMBER = 2 * t - 1;
        root = new Node(t);
    }
}

插入

java 复制代码

public void put(int key) {
    doPut(null, 0, root, key);
}

private void doPut(Node parent, int index, Node node, int key) {
    int i = 0;
    while (i < node.keyNumber && node.keys[i] < key) {
        i++;
    }
    if (i < node.keyNumber && node.keys[i] == key) {
        return;
    }
    if (node.leaf) {
        node.insertKey(key, i);
    } else {
        doPut(node, i, node.children[i], key);
    }
    if (isFull(node)) {
        split(parent, index, node);
    }
}

首先查找本节点中的插入位置 i，如果没有空位（key 被找到），应该走更新的逻辑，目前什么没做
接下来分两种情况
- 如果节点是叶子节点，可以直接插入了
- 如果节点是非叶子节点，需要继续在 children[i] 处继续递归插入
无论哪种情况，插入完成后都可能超过节点 keys 数目限制，此时应当执行节点分裂
- 参数中的 parent 和 index 都是给分裂方法用的，代表当前节点父节点，和分裂节点是第几个孩子

判断依据为：

java 复制代码

boolean isFull(Node node) {
    return node.keyNumber == MAX_KEY_NUMBER;
}

分裂

java 复制代码

void split(Node parent, int index , Node left) {
    if (parent == null) {
        Node newRoot = new Node(this.t);
        newRoot.leaf = false;
        newRoot.insertChild(root, 0);
        root = newRoot;
        parent = newRoot;
    }
    Node right = new Node(this.t);
    right.leaf = left.leaf;
    right.keyNumber = t - 1;
    System.arraycopy(left.keys, t, right.keys, 0, t - 1);
    if (!left.leaf) {
        System.arraycopy(left.children, t, right.children, 0, t);
    }
    left.keyNumber = t - 1;
    int mid = left.keys[t - 1];
    parent.insertKey(mid, index);
    parent.insertChild(right, index + 1);

}

分两种情况：

如果 parent == null 表示要分裂的是根节点，此时需要创建新根，原来的根节点作为新根的 0 孩子
否则
- 创建 right 节点（分裂后大于当前 left 节点的），把 t 以后的 key 和 child 都拷贝过去
- t-1 处的 key 插入到 parent 的 index 处，index 指 left 作为孩子时的索引
- right 节点作为 parent 的孩子插入到 index + 1 处

删除

case 1：当前节点是叶子节点，没找到

case 2：当前节点是叶子节点，找到了

case 3：当前节点是非叶子节点，没找到

case 4：当前节点是非叶子节点，找到了

case 5：删除后 key 数目 < 下限（不平衡）

case 6：根节点

完整代码

java 复制代码

package com.itheima.algorithm.btree;

import java.util.Arrays;

/**
 * <h3>B-树</h3>
 */
@SuppressWarnings("all")
public class BTree {

    static class Node {
        int[] keys; // 关键字
        Node[] children; // 孩子
        int keyNumber; // 有效关键字数目
        boolean leaf = true; // 是否是叶子节点
        int t; // 最小度数 (最小孩子数)

        public Node(int t) { // t>=2
            this.t = t;
            this.children = new Node[2 * t];
            this.keys = new int[2 * t - 1];
        }

        public Node(int[] keys) {
            this.keys = keys;
        }

        @Override
        public String toString() {
            return Arrays.toString(Arrays.copyOfRange(keys, 0, keyNumber));
        }

        // 多路查找
        Node get(int key) {
            int i = 0;
            while (i < keyNumber) {
                if (keys[i] == key) {
                    return this;
                }
                if (keys[i] > key) {
                    break;
                }
                i++;
            }
            // 执行到此时 keys[i]>key 或 i==keyNumber
            if (leaf) {
                return null;
            }
            // 非叶子情况
            return children[i].get(key);
        }

        // 向 keys 指定索引处插入 key
        void insertKey(int key, int index) {
            System.arraycopy(keys, index, keys, index + 1, keyNumber - index);
            keys[index] = key;
            keyNumber++;
        }

        // 向 children 指定索引处插入 child
        void insertChild(Node child, int index) {
            System.arraycopy(children, index, children, index + 1, keyNumber - index);
            children[index] = child;
        }

        int removeKey(int index) {
            int t = keys[index];
            System.arraycopy(keys, index + 1, keys, index, --keyNumber - index);
            return t;
        }

        int removeLeftmostKey() {
            return removeKey(0);
        }

        int removeRightmostKey() {
            return removeKey(keyNumber - 1);
        }

        Node removeChild(int index) {
            Node t = children[index];
            System.arraycopy(children, index + 1, children, index, keyNumber - index);
            children[keyNumber] = null;
            return t;
        }

        Node removeLeftmostChild() {
            return removeChild(0);
        }

        Node removeRightmostChild() {
            return removeChild(keyNumber);
        }

        void moveToLeft(Node left) {
            int start = left.keyNumber;
            if (!leaf) {
                for (int i = 0; i <= keyNumber; i++) {
                    left.children[start + i] = children[i];
                }
            }
            for (int i = 0; i < keyNumber; i++) {
                left.keys[left.keyNumber++] = keys[i];
            }
        }

        Node leftSibling(int index) {
            return index > 0 ? children[index - 1] : null;
        }

        Node rightSibling(int index) {
            return index == keyNumber ? null : children[index + 1];
        }
    }

    Node root;

    int t; // 树中节点最小度数
    final int MIN_KEY_NUMBER; // 最小key数目
    final int MAX_KEY_NUMBER; // 最大key数目

    public BTree() {
        this(2);
    }

    public BTree(int t) {
        this.t = t;
        root = new Node(t);
        MAX_KEY_NUMBER = 2 * t - 1;
        MIN_KEY_NUMBER = t - 1;
    }

    // 1. 是否存在
    public boolean contains(int key) {
        return root.get(key) != null;
    }

    // 2. 新增
    public void put(int key) {
        doPut(root, key, null, 0);
    }

    private void doPut(Node node, int key, Node parent, int index) {
        int i = 0;
        while (i < node.keyNumber) {
            if (node.keys[i] == key) {
                return; // 更新
            }
            if (node.keys[i] > key) {
                break; // 找到了插入位置，即为此时的 i
            }
            i++;
        }
        if (node.leaf) {
            node.insertKey(key, i);
        } else {
            doPut(node.children[i], key, node, i);
        }
        if (node.keyNumber == MAX_KEY_NUMBER) {
            split(node, parent, index);
        }
    }

    /**
     * <h3>分裂方法</h3>
     *
     * @param left   要分裂的节点
     * @param parent 分裂节点的父节点
     * @param index  分裂节点是第几个孩子
     */
    void split(Node left, Node parent, int index) {
        // 分裂的是根节点
        if (parent == null) {
            Node newRoot = new Node(t);
            newRoot.leaf = false;
            newRoot.insertChild(left, 0);
            this.root = newRoot;
            parent = newRoot;
        }
        // 1. 创建 right 节点，把 left 中 t 之后的 key 和 child 移动过去
        Node right = new Node(t);
        right.leaf = left.leaf;
        System.arraycopy(left.keys, t, right.keys, 0, t - 1);
        // 分裂节点是非叶子的情况
        if (!left.leaf) {
            System.arraycopy(left.children, t, right.children, 0, t);
            for (int i = t; i <= left.keyNumber; i++) {
                left.children[i] = null;
            }
        }
        right.keyNumber = t - 1;
        left.keyNumber = t - 1;
        // 2. 中间的 key （t-1 处）插入到父节点
        int mid = left.keys[t - 1];
        parent.insertKey(mid, index);
        // 3. right 节点作为父节点的孩子
        parent.insertChild(right, index + 1);
    }

    // 3. 删除
    public void remove(int key) {
        doRemove(root, key, null, 0);
    }

    private void doRemove(Node node, int key, Node parent, int index) {
        int i = 0;
        while (i < node.keyNumber) {
            if (node.keys[i] >= key) {
                break;
            }
            i++;
        }
        if (node.leaf) {
            if (notFound(node, key, i)) { // case 1
                return;
            }
            node.removeKey(i);  // case 2
        } else {
            if (notFound(node, key, i)) { // case 3
                doRemove(node.children[i], key, node, i);
            } else { // case 4
                Node s = node.children[i + 1];
                while (!s.leaf) {
                    s = s.children[0];
                }
                int k = s.keys[0];
                node.keys[i] = k;
                doRemove(node.children[i + 1], k, node, i + 1);
            }
        }
        if (node.keyNumber < MIN_KEY_NUMBER) { // case 5
            balance(node, parent, index);
        }
    }

    private boolean notFound(Node node, int key, int i) {
        return i >= node.keyNumber || (i < node.keyNumber && node.keys[i] != key);
    }

    private void balance(Node node, Node parent, int i) {
        if (node == root) {
            if (root.keyNumber == 0 && root.children[0] != null) {
                root = root.children[0];
            }
            return;
        }
        Node leftSibling = parent.leftSibling(i);
        Node rightSibling = parent.rightSibling(i);
        if (leftSibling != null && leftSibling.keyNumber > MIN_KEY_NUMBER) {
            rightRotate(node, leftSibling, parent, i);
            return;
        }
        if (rightSibling != null && rightSibling.keyNumber > MIN_KEY_NUMBER) {
            leftRotate(node, rightSibling, parent, i);
            return;
        }
        if (leftSibling != null) {
            mergeToLeft(leftSibling, parent, i - 1);
        } else {
            mergeToLeft(node, parent, i);
        }
    }


    private void mergeToLeft(Node left, Node parent, int i) {
        Node right = parent.removeChild(i + 1);
        left.insertKey(parent.removeKey(i), left.keyNumber);
        right.moveToLeft(left);
    }

    private void rightRotate(Node node, Node leftSibling, Node parent, int i) {
        node.insertKey(parent.keys[i - 1], 0);
        if (!leftSibling.leaf) {
            node.insertChild(leftSibling.removeRightmostChild(), 0);
        }
        parent.keys[i - 1] = leftSibling.removeRightmostKey();
    }

    private void leftRotate(Node node, Node rightSibling, Node parent, int i) {
        node.insertKey(parent.keys[i], node.keyNumber);
        if (!rightSibling.leaf) {
            node.insertChild(rightSibling.removeLeftmostChild(), node.keyNumber + 1);
        }
        parent.keys[i] = rightSibling.removeLeftmostKey();
    }
}

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