集合论(ZFC)之良创关系(Well-Founded Relation)

定义在集合S中的一个二元关系(Binary Relation)记,<,有(S,<)。如果对于集合S的任意非空子集,都存在关系(<)下的最小元素,那么该关系(<)成为良创关系(Well_Founded Relation),集合S与关系(<),即(S,<),称为良创集。亦:

(s ⊂ S ∧ s ≠ ∅ → (a ∈ s → ¬(∃x∈s.(x < a)))) → Well_Founded(S)

可证,良序集(Well-Ordered Set)满足良创集的条件。即良序集为良创集。

另外,给定义一个良创集(S,<),可定义关系(<)的高度(height),同时,赋予集合S中的每个元素 x 一个序数,称该序数为对应元素 x 的关系(<)层级 ( Rank of x in < )。

那么,把这赋级规则看作是一函数 rank: S → Ordinal,其定义为

rank(x) = sup { rank(y) + 1: y < x } ( x ∈ S )

该函数 rank 是唯一存在的。其证明可通过对层级进行归纳,定义各层级集合,如

S₀ = ∅ ;

Sₙ₊₁ = {s ∈ S: ∀t(t < s → t ∈ Sₙ)};

Sₐ = ⋃ ᵢ<ₐ Sᵢ ( a 是极限序数(limit ordinal))

那么,有 S₀ ⊂ S₁ ⊂ ... ⊂ S。

令,r 为该集合的最高层级,有 Sᵣ = S。

如果 Sᵣ **≠**S,那么,(S - Sᵣ)⊂ S,而S为良创集,由此存在一个元素 a 是(S - Sᵣ)中,关系(<)下的最小元素,那么根据上述描述,a 存在于 Sᵣ₊₁ 中,与定义不符,因此,Sᵣ = S。

其中 r 为 良创集(S,<)的高度。

相关推荐
Ljugg1 分钟前
把doi直接插入word中,然后直接生成参考文献
开发语言·c#·word
长流小哥2 分钟前
可视化开发:用Qt实现Excel级动态柱状图
开发语言·c++·qt·ui
Python测试之道10 分钟前
Deepseek API+Python 测试用例一键生成与导出 V1.0.6(加入分块策略,返回更完整可靠)
开发语言·python·测试用例
明朝百晓生12 分钟前
【强化学习】【1】【PyTorch】【强化学习简介优化框架】
算法
SRC_BLUE_1713 分钟前
Python GUI 编程 | QObject 控件基类详解 — 定时器
开发语言·数据库·python
loser~曹17 分钟前
基于快速排序解决 leetcode hot215 查找数组中第k大的数字
数据结构·算法·leetcode
啊阿狸不会拉杆21 分钟前
第二十一章:Python-Plotly库实现数据动态可视化
开发语言·python·plotly
Dream it possible!23 分钟前
LeetCode 热题 100_打家劫舍(83_198_中等_C++)(动态规划)
c++·算法·leetcode·动态规划
zhouziyi070128 分钟前
【蓝桥杯14天冲刺课题单】Day 8
c++·算法·蓝桥杯
滴答滴答嗒嗒滴32 分钟前
Python小练习系列 Vol.12:学生信息排序(sorted + key函数)
开发语言·python