集合论(ZFC)之良创关系(Well-Founded Relation)

定义在集合S中的一个二元关系(Binary Relation)记,<,有(S,<)。如果对于集合S的任意非空子集,都存在关系(<)下的最小元素,那么该关系(<)成为良创关系(Well_Founded Relation),集合S与关系(<),即(S,<),称为良创集。亦:

(s ⊂ S ∧ s ≠ ∅ → (a ∈ s → ¬(∃x∈s.(x < a)))) → Well_Founded(S)

可证,良序集(Well-Ordered Set)满足良创集的条件。即良序集为良创集。

另外,给定义一个良创集(S,<),可定义关系(<)的高度(height),同时,赋予集合S中的每个元素 x 一个序数,称该序数为对应元素 x 的关系(<)层级 ( Rank of x in < )。

那么,把这赋级规则看作是一函数 rank: S → Ordinal,其定义为

rank(x) = sup { rank(y) + 1: y < x } ( x ∈ S )

该函数 rank 是唯一存在的。其证明可通过对层级进行归纳,定义各层级集合,如

S₀ = ∅ ;

Sₙ₊₁ = {s ∈ S: ∀t(t < s → t ∈ Sₙ)};

Sₐ = ⋃ ᵢ<ₐ Sᵢ ( a 是极限序数(limit ordinal))

那么,有 S₀ ⊂ S₁ ⊂ ... ⊂ S。

令,r 为该集合的最高层级,有 Sᵣ = S。

如果 Sᵣ **≠**S,那么,(S - Sᵣ)⊂ S,而S为良创集,由此存在一个元素 a 是(S - Sᵣ)中,关系(<)下的最小元素,那么根据上述描述,a 存在于 Sᵣ₊₁ 中,与定义不符,因此,Sᵣ = S。

其中 r 为 良创集(S,<)的高度。

相关推荐
qq_381454995 小时前
Python学习技巧
开发语言·python·学习
im_AMBER5 小时前
算法笔记 18 二分查找
数据结构·笔记·学习·算法
C雨后彩虹5 小时前
机器人活动区域
java·数据结构·算法·华为·面试
勇气要爆发5 小时前
物种起源—JavaScript原型链详解
开发语言·javascript·原型模式
MarkHD5 小时前
车辆TBOX科普 第53次 三位一体智能车辆监控:电子围栏算法、驾驶行为分析与故障诊断逻辑深度解析
算法
苏小瀚6 小时前
[算法]---路径问题
数据结构·算法·leetcode
freedom_1024_6 小时前
【c++】使用友元函数重载运算符
开发语言·c++
San30.6 小时前
深入理解 JavaScript OOP:从一个「就地编辑组件」看清封装、状态与原型链
开发语言·前端·javascript·ecmascript
郑州光合科技余经理6 小时前
基于PHP:海外版同城O2O系统多语言源码解决方案
java·开发语言·git·spring cloud·uni-app·php·uniapp
zmzb01036 小时前
C++课后习题训练记录Day43
开发语言·c++