集合论(ZFC)之良创关系(Well-Founded Relation)

定义在集合S中的一个二元关系(Binary Relation)记,<,有(S,<)。如果对于集合S的任意非空子集,都存在关系(<)下的最小元素,那么该关系(<)成为良创关系(Well_Founded Relation),集合S与关系(<),即(S,<),称为良创集。亦:

(s ⊂ S ∧ s ≠ ∅ → (a ∈ s → ¬(∃x∈s.(x < a)))) → Well_Founded(S)

可证,良序集(Well-Ordered Set)满足良创集的条件。即良序集为良创集。

另外,给定义一个良创集(S,<),可定义关系(<)的高度(height),同时,赋予集合S中的每个元素 x 一个序数,称该序数为对应元素 x 的关系(<)层级 ( Rank of x in < )。

那么,把这赋级规则看作是一函数 rank: S → Ordinal,其定义为

rank(x) = sup { rank(y) + 1: y < x } ( x ∈ S )

该函数 rank 是唯一存在的。其证明可通过对层级进行归纳,定义各层级集合,如

S₀ = ∅ ;

Sₙ₊₁ = {s ∈ S: ∀t(t < s → t ∈ Sₙ)};

Sₐ = ⋃ ᵢ<ₐ Sᵢ ( a 是极限序数(limit ordinal))

那么,有 S₀ ⊂ S₁ ⊂ ... ⊂ S。

令,r 为该集合的最高层级,有 Sᵣ = S。

如果 Sᵣ **≠**S,那么,(S - Sᵣ)⊂ S,而S为良创集,由此存在一个元素 a 是(S - Sᵣ)中,关系(<)下的最小元素,那么根据上述描述,a 存在于 Sᵣ₊₁ 中,与定义不符,因此,Sᵣ = S。

其中 r 为 良创集(S,<)的高度。

相关推荐
迷途之人不知返5 小时前
Stack & Queue
c++·算法
(Charon)5 小时前
【C++/Qt】Qt 实现 MQTT 测试工具:连接 Broker、订阅主题与发布消息
开发语言·c++·qt
Ulyanov5 小时前
《现代 Python 桌面应用架构实战:PySide6 + QML 从入门到工程化》:动态数据仪表盘与 NumPy 可视化 —— 从标量到向量的数据驱动进化
开发语言·python·qt·架构·numpy
没文化的阿浩5 小时前
【数据结构】排序(2)——直接选择排序、堆排序
数据结构·算法·排序算法
小短腿的代码世界5 小时前
Qt序列化与持久化深度解析:从QDataStream到自定义二进制协议
开发语言·数据库·qt
ytttr8736 小时前
基于libusb的用户空间UVC相机库
算法
周末也要写八哥6 小时前
Golang语言与Rust语言的对比
开发语言·后端·golang
bybitq6 小时前
Reactor 模型 vs Proactor 模型:区别与代码示例
算法
楼田莉子6 小时前
Linux网络:数据链路层
linux·服务器·开发语言·网络·c++·后端
不甘先生6 小时前
Go 四层架构实战:Handler + Service + Repository + Entity(清晰、可控、可演进)
开发语言·架构·golang