集合论(ZFC)之良创关系(Well-Founded Relation)

定义在集合S中的一个二元关系(Binary Relation)记,<,有(S,<)。如果对于集合S的任意非空子集,都存在关系(<)下的最小元素,那么该关系(<)成为良创关系(Well_Founded Relation),集合S与关系(<),即(S,<),称为良创集。亦:

(s ⊂ S ∧ s ≠ ∅ → (a ∈ s → ¬(∃x∈s.(x < a)))) → Well_Founded(S)

可证,良序集(Well-Ordered Set)满足良创集的条件。即良序集为良创集。

另外,给定义一个良创集(S,<),可定义关系(<)的高度(height),同时,赋予集合S中的每个元素 x 一个序数,称该序数为对应元素 x 的关系(<)层级 ( Rank of x in < )。

那么,把这赋级规则看作是一函数 rank: S → Ordinal,其定义为

rank(x) = sup { rank(y) + 1: y < x } ( x ∈ S )

该函数 rank 是唯一存在的。其证明可通过对层级进行归纳,定义各层级集合,如

S₀ = ∅ ;

Sₙ₊₁ = {s ∈ S: ∀t(t < s → t ∈ Sₙ)};

Sₐ = ⋃ ᵢ<ₐ Sᵢ ( a 是极限序数(limit ordinal))

那么,有 S₀ ⊂ S₁ ⊂ ... ⊂ S。

令,r 为该集合的最高层级,有 Sᵣ = S。

如果 Sᵣ **≠**S,那么,(S - Sᵣ)⊂ S,而S为良创集,由此存在一个元素 a 是(S - Sᵣ)中,关系(<)下的最小元素,那么根据上述描述,a 存在于 Sᵣ₊₁ 中,与定义不符,因此,Sᵣ = S。

其中 r 为 良创集(S,<)的高度。

相关推荐
xa138508694 分钟前
ARCGIS PRO SDK 多边形四至点计算
算法·arcgis
世转神风-8 分钟前
qt-float转QByteArray-二进制存储-数据存储(IEEE 754标准)
开发语言·qt
linksinke9 分钟前
在windows系统上搭建Golang多版本管理器(g)的配置环境
开发语言·windows·golang
59803541516 分钟前
【java工具类】小数、整数转中文小写
android·java·开发语言
superman超哥16 分钟前
仓颉语言智能指针深度实战:突破 GC 与所有权的边界
c语言·开发语言·c++·python·仓颉
cike_y16 分钟前
Mybatis之作用域(Scope)和生命周期-解决属性名和字段名不一致的问题&ResultMap结果集映射
java·开发语言·数据库·tomcat·mybatis
捻tua馔...17 分钟前
mobx相关使用及源码实现
开发语言·前端·javascript
AuroraWanderll34 分钟前
类和对象(四):默认成员函数详解与运算符重载(下)
c语言·数据结构·c++·算法·stl
2401_8414956435 分钟前
【LeetCode刷题】杨辉三角
数据结构·python·算法·leetcode·杨辉三角·时间复杂度·空间复杂度
微爱帮监所写信寄信35 分钟前
微爱帮监狱寄信写信小程序与焦作邮政系统对接技术方案
开发语言·网络协议·小程序·https·php·监狱寄信