集合论(ZFC)之良创关系(Well-Founded Relation)

定义在集合S中的一个二元关系(Binary Relation)记,<,有(S,<)。如果对于集合S的任意非空子集,都存在关系(<)下的最小元素,那么该关系(<)成为良创关系(Well_Founded Relation),集合S与关系(<),即(S,<),称为良创集。亦:

(s ⊂ S ∧ s ≠ ∅ → (a ∈ s → ¬(∃x∈s.(x < a)))) → Well_Founded(S)

可证,良序集(Well-Ordered Set)满足良创集的条件。即良序集为良创集。

另外,给定义一个良创集(S,<),可定义关系(<)的高度(height),同时,赋予集合S中的每个元素 x 一个序数,称该序数为对应元素 x 的关系(<)层级 ( Rank of x in < )。

那么,把这赋级规则看作是一函数 rank: S → Ordinal,其定义为

rank(x) = sup { rank(y) + 1: y < x } ( x ∈ S )

该函数 rank 是唯一存在的。其证明可通过对层级进行归纳,定义各层级集合,如

S₀ = ∅ ;

Sₙ₊₁ = {s ∈ S: ∀t(t < s → t ∈ Sₙ)};

Sₐ = ⋃ ᵢ<ₐ Sᵢ ( a 是极限序数(limit ordinal))

那么,有 S₀ ⊂ S₁ ⊂ ... ⊂ S。

令,r 为该集合的最高层级,有 Sᵣ = S。

如果 Sᵣ **≠**S,那么,(S - Sᵣ)⊂ S,而S为良创集,由此存在一个元素 a 是(S - Sᵣ)中,关系(<)下的最小元素,那么根据上述描述,a 存在于 Sᵣ₊₁ 中,与定义不符,因此,Sᵣ = S。

其中 r 为 良创集(S,<)的高度。

相关推荐
雾岛听蓝28 分钟前
Qt操作指南:窗口组成与菜单栏
开发语言·经验分享·笔记·qt
zopple42 分钟前
Laravel vs ThinkPHP:PHP框架终极对决
开发语言·php·laravel
松☆1 小时前
C++ 算法竞赛题解:P13569 [CCPC 2024 重庆站] osu!mania —— 浮点数精度陷阱与 `eps` 的深度解析
开发语言·c++·算法
耿雨飞1 小时前
Python 后端开发技术博客专栏 | 第 06 篇 描述符与属性管理 -- 理解 Python 属性访问的底层机制
开发语言·python
耿雨飞1 小时前
Python 后端开发技术博客专栏 | 第 08 篇 上下文管理器与类型系统 -- 资源管理与代码健壮性
开发语言·python
2601_949194261 小时前
Python爬虫完整代码拿走不谢
开发语言·爬虫·python
jr-create(•̀⌄•́)1 小时前
正则化和优化算法区别
pytorch·深度学习·神经网络·算法
c***89202 小时前
python爬虫——爬取全年天气数据并做可视化分析
开发语言·爬虫·python
aq55356002 小时前
C语言、C++和C#:三大编程语言核心差异详解
java·开发语言·jvm
visual_zhang2 小时前
Swift 方法派发机制深度解析 —— 兼与 Objective-C `objc_msgSend` 对比
objective-c·swift