集合论(ZFC)之良创关系(Well-Founded Relation)

定义在集合S中的一个二元关系(Binary Relation)记,<,有(S,<)。如果对于集合S的任意非空子集,都存在关系(<)下的最小元素,那么该关系(<)成为良创关系(Well_Founded Relation),集合S与关系(<),即(S,<),称为良创集。亦:

(s ⊂ S ∧ s ≠ ∅ → (a ∈ s → ¬(∃x∈s.(x < a)))) → Well_Founded(S)

可证,良序集(Well-Ordered Set)满足良创集的条件。即良序集为良创集。

另外,给定义一个良创集(S,<),可定义关系(<)的高度(height),同时,赋予集合S中的每个元素 x 一个序数,称该序数为对应元素 x 的关系(<)层级 ( Rank of x in < )。

那么,把这赋级规则看作是一函数 rank: S → Ordinal,其定义为

rank(x) = sup { rank(y) + 1: y < x } ( x ∈ S )

该函数 rank 是唯一存在的。其证明可通过对层级进行归纳,定义各层级集合,如

S₀ = ∅ ;

Sₙ₊₁ = {s ∈ S: ∀t(t < s → t ∈ Sₙ)};

Sₐ = ⋃ ᵢ<ₐ Sᵢ ( a 是极限序数(limit ordinal))

那么,有 S₀ ⊂ S₁ ⊂ ... ⊂ S。

令,r 为该集合的最高层级,有 Sᵣ = S。

如果 Sᵣ **≠**S,那么,(S - Sᵣ)⊂ S,而S为良创集,由此存在一个元素 a 是(S - Sᵣ)中,关系(<)下的最小元素,那么根据上述描述,a 存在于 Sᵣ₊₁ 中,与定义不符,因此,Sᵣ = S。

其中 r 为 良创集(S,<)的高度。

相关推荐
cch89186 小时前
汇编与Java:底层与高层的编程对决
java·开发语言·汇编
荒川之神7 小时前
拉链表概念与基本设计
java·开发语言·数据库
workflower7 小时前
用硬件换时间”与“用算法降成本”之间的博弈
人工智能·算法·安全·集成测试·无人机·ai编程
chushiyunen7 小时前
python中的@Property和@Setter
java·开发语言·python
小樱花的樱花7 小时前
C++ new和delete用法详解
linux·开发语言·c++
froginwe117 小时前
C 运算符
开发语言
fengfuyao9858 小时前
低数据极限下模型预测控制的非线性动力学的稀疏识别 MATLAB实现
开发语言·matlab
摇滚侠8 小时前
搭建前端开发环境 安装 nodejs 设置淘宝镜像 最简化最标准版本 不使用 NVM NVM 高版本无法安装低版本 nodejs
java·开发语言·node.js
t198751288 小时前
MATLAB十字路口车辆通行情况模拟系统
开发语言·matlab