集合论(ZFC)之良创关系(Well-Founded Relation)

定义在集合S中的一个二元关系(Binary Relation)记,<,有(S,<)。如果对于集合S的任意非空子集,都存在关系(<)下的最小元素,那么该关系(<)成为良创关系(Well_Founded Relation),集合S与关系(<),即(S,<),称为良创集。亦:

(s ⊂ S ∧ s ≠ ∅ → (a ∈ s → ¬(∃x∈s.(x < a)))) → Well_Founded(S)

可证,良序集(Well-Ordered Set)满足良创集的条件。即良序集为良创集。

另外,给定义一个良创集(S,<),可定义关系(<)的高度(height),同时,赋予集合S中的每个元素 x 一个序数,称该序数为对应元素 x 的关系(<)层级 ( Rank of x in < )。

那么,把这赋级规则看作是一函数 rank: S → Ordinal,其定义为

rank(x) = sup { rank(y) + 1: y < x } ( x ∈ S )

该函数 rank 是唯一存在的。其证明可通过对层级进行归纳,定义各层级集合,如

S₀ = ∅ ;

Sₙ₊₁ = {s ∈ S: ∀t(t < s → t ∈ Sₙ)};

Sₐ = ⋃ ᵢ<ₐ Sᵢ ( a 是极限序数(limit ordinal))

那么,有 S₀ ⊂ S₁ ⊂ ... ⊂ S。

令,r 为该集合的最高层级,有 Sᵣ = S。

如果 Sᵣ **≠**S,那么,(S - Sᵣ)⊂ S,而S为良创集,由此存在一个元素 a 是(S - Sᵣ)中,关系(<)下的最小元素,那么根据上述描述,a 存在于 Sᵣ₊₁ 中,与定义不符,因此,Sᵣ = S。

其中 r 为 良创集(S,<)的高度。

相关推荐
鱼鱼不愚与5 小时前
《原来如此 | 第01期:为什么导航软件能预测红绿灯倒计时?》
算法
复杂网络9 小时前
论最小 Agent 计算机的形态
算法
东坡肘子11 小时前
Swift 还让你 Excited 吗?-- 肘子的 Swift 周报 #141
人工智能·swiftui·swift
kisshyshy1 天前
🍦 雪糕、食堂、火车厢:三幅漫画吃透栈、队列与链表
javascript·算法
猿人谷1 天前
不只是 CPU 阈值:STAR 如何用 GAT + Transformer 做容器级自动扩缩容?
人工智能·算法
复杂网络1 天前
Stable Diffusion 视觉大模型微调技术深度调研
算法
复杂网络1 天前
基于 Stable Diffusion 架构的视觉大模型代表性工作与原理深度解析
算法
MrZhao4001 天前
Agent Loop 如何用 Hook 扩展:权限、日志与工具拦截
算法
MrZhao4001 天前
Agent 为什么需要 Skills:别把所有知识都塞进 system prompt
算法
JieE2123 天前
LeetCode 101. 对称二叉树|JS 递归 + 迭代双解法,彻底搞懂镜像判断
javascript·算法