集合论(ZFC)之良创关系(Well-Founded Relation)

定义在集合S中的一个二元关系(Binary Relation)记,<,有(S,<)。如果对于集合S的任意非空子集,都存在关系(<)下的最小元素,那么该关系(<)成为良创关系(Well_Founded Relation),集合S与关系(<),即(S,<),称为良创集。亦:

(s ⊂ S ∧ s ≠ ∅ → (a ∈ s → ¬(∃x∈s.(x < a)))) → Well_Founded(S)

可证,良序集(Well-Ordered Set)满足良创集的条件。即良序集为良创集。

另外,给定义一个良创集(S,<),可定义关系(<)的高度(height),同时,赋予集合S中的每个元素 x 一个序数,称该序数为对应元素 x 的关系(<)层级 ( Rank of x in < )。

那么,把这赋级规则看作是一函数 rank: S → Ordinal,其定义为

rank(x) = sup { rank(y) + 1: y < x } ( x ∈ S )

该函数 rank 是唯一存在的。其证明可通过对层级进行归纳,定义各层级集合,如

S₀ = ∅ ;

Sₙ₊₁ = {s ∈ S: ∀t(t < s → t ∈ Sₙ)};

Sₐ = ⋃ ᵢ<ₐ Sᵢ ( a 是极限序数(limit ordinal))

那么,有 S₀ ⊂ S₁ ⊂ ... ⊂ S。

令,r 为该集合的最高层级,有 Sᵣ = S。

如果 Sᵣ **≠**S,那么,(S - Sᵣ)⊂ S,而S为良创集,由此存在一个元素 a 是(S - Sᵣ)中,关系(<)下的最小元素,那么根据上述描述,a 存在于 Sᵣ₊₁ 中,与定义不符,因此,Sᵣ = S。

其中 r 为 良创集(S,<)的高度。

相关推荐
weixin_3077791326 分钟前
C++代码实现MATLAB中的ode45函数功能
开发语言·c++·算法·matlab
不穿鞋的懒羊羊1 小时前
dfs深度优先搜索
算法
是立不是利1 小时前
大文件导致请求被拒的连锁反应
开发语言·前端·javascript
OYYHXPJR1 小时前
【算法】区间重叠模板和矩形重叠模板
算法
shehuiyuelaiyuehao1 小时前
算法46,分治快排,排序数组
java·算法·排序算法·排序
野生技术架构师1 小时前
1200 道 JAVA 面试题(各大企业常见面试题及答案)
java·开发语言
远航计算机1 小时前
GEO 选题从哪来?用一份 Query 词库把一年内容排出来
大数据·人工智能·算法·aigc
宣宣猪的小花园.2 小时前
【机器学习】神经网络与表征:为什么深度学习能自动提取特征
人工智能·嵌入式硬件·算法·机器学习
“AI国潮设计-小江”2 小时前
【Python/SDXL实战】潮汕国潮IP视觉落地:普宁美食猫IP & 创意甜品设计(附ComfyUI工作流思路)
开发语言·人工智能·python·prompt·aigc