集合论(ZFC)之良创关系(Well-Founded Relation)

定义在集合S中的一个二元关系(Binary Relation)记,<,有(S,<)。如果对于集合S的任意非空子集,都存在关系(<)下的最小元素,那么该关系(<)成为良创关系(Well_Founded Relation),集合S与关系(<),即(S,<),称为良创集。亦:

(s ⊂ S ∧ s ≠ ∅ → (a ∈ s → ¬(∃x∈s.(x < a)))) → Well_Founded(S)

可证,良序集(Well-Ordered Set)满足良创集的条件。即良序集为良创集。

另外,给定义一个良创集(S,<),可定义关系(<)的高度(height),同时,赋予集合S中的每个元素 x 一个序数,称该序数为对应元素 x 的关系(<)层级 ( Rank of x in < )。

那么,把这赋级规则看作是一函数 rank: S → Ordinal,其定义为

rank(x) = sup { rank(y) + 1: y < x } ( x ∈ S )

该函数 rank 是唯一存在的。其证明可通过对层级进行归纳,定义各层级集合,如

S₀ = ∅ ;

Sₙ₊₁ = {s ∈ S: ∀t(t < s → t ∈ Sₙ)};

Sₐ = ⋃ ᵢ<ₐ Sᵢ ( a 是极限序数(limit ordinal))

那么,有 S₀ ⊂ S₁ ⊂ ... ⊂ S。

令,r 为该集合的最高层级,有 Sᵣ = S。

如果 Sᵣ **≠**S,那么,(S - Sᵣ)⊂ S,而S为良创集,由此存在一个元素 a 是(S - Sᵣ)中,关系(<)下的最小元素,那么根据上述描述,a 存在于 Sᵣ₊₁ 中,与定义不符,因此,Sᵣ = S。

其中 r 为 良创集(S,<)的高度。

相关推荐
电子云与长程纠缠11 分钟前
UE5制作六边形包裹球体效果
开发语言·python·ue5
砍材农夫17 分钟前
物联网 基于netty构建mqtt协议规范(遗嘱与保留消息)
java·开发语言·物联网·netty
DFT计算杂谈20 分钟前
KPROJ编译教程
java·前端·python·算法·conda
重生之我是Java开发战士32 分钟前
【笔试强训】Week5:空调遥控, kotor和气球,走迷宫,主持人调度II,体操队形,二叉树的最大路径和,排序子序列,消减整数
java·算法·动态规划
froginwe1134 分钟前
Python3 迭代器与生成器
开发语言
xiaoshuaishuai81 小时前
C# 签名异常与Gas预估失败调试方案
开发语言·网络·tcp/ip·c#
xiaoshuaishuai81 小时前
C# Gemini 辅助网络安全漏洞分析
开发语言·web安全·c#
念恒123061 小时前
Python(循环中断)
开发语言·python
社交怪人1 小时前
【数字对调】信息学奥赛一本通C语言解法(题号2070)
c语言·开发语言
hef2881 小时前
C语言中char指针与数组的区别及应用
c语言·开发语言