一、二维
1、二维随机变量及其分布
假设E是随机试验，Ω是样本空间，X、Y是Ω的两个变量；(X,Y)就叫做二维随机变量或二维随机向量。X、Y来自同一个样本空间。
联合分布函数 F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)，即F(x,y)表示求(x,y)左下方的面积。 F(x,y) 不减，例如：y固定，x1<x2，F(x1,y)<F(x2,y)；F(x,y)分别关于x和y右连续。
对于<
，
<
存在 P(
< X ≤
，
<Y ≤
) = F(
,
) - F(
,
)-F(
,
)+F(
,
)
P(< X ≤
，
<Y ≤
) 如左下图表示，等号右边则是图中四块区域的代表。
2、二维离散型随机变量的联合分布和边缘分布
边缘分布 是表示在所有可能的一个变量值上，获取另一个变量的概率之和
X的边缘分布：(x) = P(X ≤ x) = F(x,+∞) = P(X≤x,Y<+∞)
Y的边缘分布：(y) = P(Y ≤ y) = F(+∞,y) = P(X<+∞,Y≤y)
联合概率质量函数 P(X=x,Y=y) 描述了随机变量 X 和 Y 同时取特定值 x 和y 的概率。所有可能的 x 和 y 值的概率之和等于1。
3、二维连续随机变量的联合密度和边缘密度函数
F(x,y) = P(X≤x,Y≤y) = f(s,t) ds dt 函数就是对所有的x,y进行积分求和。
例如：
已知联合密度函数，求分布函数F(x,y)
解：带入分布函数公式： f(s,t) ds dt =
dx dy =
dx
dy =(1-
)(1-
) ;因为联合密度函数定义域为x,y都大于0，所以积分时只需要大于0即可
边缘密度函数 直接将另一个变量积分部分等价于（x,+），则剩下部分为另一个变量的边缘密度函数。
二、条件分布
1、基础定义
已知另一个随机变量或事件的条件下，该随机变量的概率分布：F(x|A)=P(X x | A)
例如：概率密度函数如图，求在X>1的条件下f(x)的条件分布函数
解：F(x | X>1) = P(X x|X>1)=P(X
x,X>1)/ P(X>1)
求分子：P(1 X
x) =
1/
dx = 1/
* arctan(x)
= arctan(x)/
- 1/4
求分母：P(X>1) = 1/
= 1/
* arctan(x)
= 1/
*
/2 - 1/
*
/4 = 1/4
则整个结果为 （arctan(x)/ - 1/4）/1/4=arctan(x)/
-1
2、离散型随机变量的条件分布
从分布表来理解
| X\Y | 0 | 1 |
|---|---|---|
| 0 | 0.1 | 0.3 |
| 1 | 0.3 | 0.3 |
P(Y=y) 是 Y 的边缘概率质量函数，Y 的边缘概率质量函数是对列求和：
| Y | 0 | 1 |
|---|---|---|
| P | 0.4 | 0.6 |
那么在Y=1的条件下，假设x=0，X=x的概率为： P(X=0∣Y=1)=03/0.6 =0.5；假设x=1，X=x的概率为 P(X=1∣Y=1)=0.3/0.6=0.5
3、连续型随机变量的条件分布
Y=y条件下，条件概率密度函数为： f(x∣y)=f(x,y) / (y)；同理X=x条件下：f(y∣x)=f(x,y) /
(x)。其中
(y) 、
(x) 是边缘函数。
例如：假设 
解：f(x|y) = f(x,y) / (y) = 1/
(1+
)(1+
) / 1/
(1+
) = 1/
(1+
)
f(y|x) = f(x,y) / (x) = 1/
(1+
)(1+
) / 1/
(1+
) = 1/
(1+
)
三、随机变量独立性
概率密度函数f(x,y)可以表示为各自边缘概率密度函数的乘积：
离散型 ：P(X=x,Y=y)=P(X=x)⋅P(Y=y)
连续型 ：f(x,y)=(x)⋅
(y)
四、二维随机变量函数的分布
1、离散型
第一步：列出所有x与y结合的取值点 (例如：z=x+y)
第二步：根据联合概率质量 函数 P(X=x,Y=y) 求z的值分布及其概率
第三步；全部z点相加验证是否等于1
例如：
假设有两个离散型随机变量 XX 和 YY，它们的联合PMF如下表所示：
| X \ Y | 1 | 2 | 3 |
|---|---|---|---|
| 1 | 0.1 | 0.2 | 0.0 |
| 2 | 0.0 | 0.3 | 0.0 |
| 3 | 0.1 | 0.1 | 0.2 |
第一步：列出所有z点 （P(1,1) ,P(1,2),P(1,3),P(2,1),P(2,2),P(2,3),P(3,1),P(3,2),P(3,3)
第二步：根据点得到对应概率，并根据（z=x+y）的求得Z点数值
Z2=P(1,1) = 0.1
Z3=P(1,2)+P(2,1) = 0.2+0.0 = 0.2
Z4=P(1,3)+P(2,2)+P(3,1) =0.0+0.3+0.1=0.4
Z5=P(2,3)+P(3,2)=0.0+0.1=0.1
Z6=P(3,3)=0.2
第三步：根据得到所有点概率进行求和验证 Z2+Z3+Z4+Z5+Z6 =0.1+0.2+0.4+0.1+0.2=1
2、连续型
第一步：明确要求需要什么函数（分布函数、概率密度函数）
第二步：根据联合密度函数进行（x,y）积分得到 分布函数，在进行 求导得到z的概率密度函数
(z)= P(Z ≤ z)=P ( g(X,Y) ≤z ) =
≤z f(x,y) dx dy ;
(z)=d/dz *
(z)
例如：假设 (X,Y) 的联合概率密度函数为下图， 求Z*=*X+Y的分布
解：
第一步：求分布函数，根据z=x+y 以及函数信息得到 z在(x,y)的分布 => 直角坐标系 点（1，1）、（1，0）、（0，1）、（0，0），四个点所在的长方形，线条z=x+y 也就是点（2，0）、（0，2）、（0，0）三点的三角形区域，两块面积的区域交集部分就是z在直角坐标系的投影;根据x,y的值获得z的分布区间（0，2），由于z在（0，1）区间是符合x,y的区间随意落地，可以直接使用积分函数求解；z在（1，2）区间内只能在长方形减去右上三角面积的结果
第二步：对（0，1）进行积分 ：根据 联合密度函数进行积分布函数 (z)= P(Z ≤ z)=P ( g(X,Y) ≤z ) =
≤z f(x,y) dx dy =
dx
2 dy =
2y
dx =
2(z-x) dx =2zx -
=
对（1，2）：由于是得到面积，所以不需要积分为 1-/2
第三步：汇总结果 形成分布函数
总结：连续型可直接根据图形面积汇总（x和y的随意分布形状与联合函数区域不一致），若在一致情况下可求面积也可以求积分得到分布函数，再根据分布函数求导得到概率密度函数。