leetcode：输入m,n(1 ＜ m ＜ n ＜ 1000000)，返回区间[m,n]内的所有素数的个数

题目：

输入m,n(1 < m < n < 1000000)，返回区间 $m,n$ 内的所有素数的个数。

题解：

要计算区间 $m,n$ 内的所有素数的个数，我们可以使用一种高效的素数判定方法，如"埃拉托斯特尼筛法"（Sieve of Eratosthenes）。然而，由于 m 和 n 的范围可能非常大（最大到 1000000），直接对 $1,n$ 使用埃拉托斯特尼筛法可能不够高效。因此，我们可以对 $m,n$ 进行一个局部筛选。

埃拉托斯特尼筛法：基本原理

埃拉托斯特尼筛法的基本思想是通过标记合数来筛选素数。一个合数，必然可以表示成一个自然数i和一个素数的乘积。因此，找到一个素数后，可以将其小于n的倍数全部标记为合数。最终，未被标记的数即为素数。

具体来说，要得到自然数n以内的全部素数，必须把不大于√n的所有素数的倍数剔除。这是因为一个合数一定可以分解为两个因数的乘积，其中至少有一个因数不大于其平方根。

埃拉托斯特尼筛法：算法步骤

初始化一个布尔数组is_prime，标记所有大于等于2且小于等于n的数为素数（即is_prime $i$ 初始化为True）。
从2开始，找到下一个未被标记为非素数的数p，将其标记为素数（即确认is_prime $p$ 为True）。
将该素数的倍数（除了该素数本身）标记为非素数（即将is_prime $p的倍数$ 设置为False）。
重复步骤2和步骤3，直到找不到更大的素数。
最终，未被标记为非素数的数即为素数。

python 复制代码

def count_primes_in_range(m, n):
    if m < 2:
        m = 2
    sqrt_n = int(n ** 0.5) + 1
    is_prime = [True] * (sqrt_n + 1)
    p = 2
    while (p * p <= sqrt_n):
        if is_prime[p]:
            for i in range(p * p, sqrt_n + 1, p):
                is_prime[i] = False
        p += 1
    is_prime_in_range = [True] * (n - m + 1)
    for p in range(2, sqrt_n + 1):
        if is_prime[p]:
            start = max(p * p, (m + p - 1) // p * p)
            for j in range(start, n + 1, p):
                if j >= m:
                    is_prime_in_range[j - m] = False
    prime_count = sum(is_prime_in_range)
    return prime_count


if __name__ == '__main__':
    m = int(input("输入m(请确保1 < m < n < 1000000): "))
    n = int(input("输入n(请确保1 < m < n < 1000000): "))
    prime_count = count_primes_in_range(m, n)
    print(prime_count)