算法篇——动态规划最终篇 (js版)

动态规划做题顺序：

确定 dp $i$ 的意义

确定递推公式

初始化 dp $i$

确定遍历顺序

举例分析

300. 最长递增子序列

给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如， $3,6,2,7$ 是数组 $0,3,1,6,2,2,7$ 的子序列。

链接：力扣

解题思路：

本题主要考虑 元素的递增 ，因此确定 递推公式 时，也要考虑 当前遍历后的子序列的尾元素 和 即将要遍历的元素 谁大，从而确定 递归序列的尾元素 是谁。

所以 dp $i$ 就是表示 当前遍历后的子序列的长度。并且可以确定递推公式：

dp $i$ = Math.max(dp $i$ , dp $j$ + 1) && nums $i$ > nums $j$

这里的比较是针对取最大的 dp $j$ 的子序列长度，不是将 dp $i$ 和 dp $j$ 进行比较，也可以理解成这样：

dp $i$ = Math.max(dp $j$ ) + 1 && nums $i$ > nums $j$ && 0 <= j < i

再求解 Math.max(dp $i$ ) 即可

初始化长度为1，因为长度至少是1。

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var lengthOfLIS = function(nums) {
    if(nums.length == 1) return 1
    // 初始化都为1
    let dp = Array(nums.length).fill(1)
    // 递增子序列的长度
    let res = 1
    for(let i = 1; i < nums.length; i++) {
        for(let j = 0; j < i; j++) {
            // 获取最大的 dp[j]
            if(nums[i] > nums[j]) dp[i] = Math.max(dp[i], dp[j] + 1)
        }
        // 得到最长子序列长度
        res = Math.max(dp[i], res)
    }
    return res
}

674. 最长连续递增序列

给定一个未经排序的整数数组，找到最长且连续递增的子序列，并返回该序列的长度。

连续递增的子序列可以由两个下标 l 和 r（l < r）确定，如果对于每个 l <= i < r，都有 nums $i$ < nums $i + 1$ ，那么子序列 $nums\[l$ , nums $l + 1$ , ..., nums $r - 1$ , nums $r$ ] 就是连续递增子序列

链接：力扣

解题思路：

本题与上一题的不同之处在于，这道题强调 "连续"，也就是说不比较 nums $j$ 与 nums $i$ （j 从0遍历到 i），而是比较 nums $i$ 与 nums $i - 1$ ，也就无需双层循环。连续递增的子序列长度最小是1，所以初始化是1。递推公式是：

dp $i$ = dp $i - 1$ + 1 && nums $i$ > nums $i - 1$

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var findLengthOfLCIS = function(nums) {
    if(nums.length == 1) return 1
    // 初始化都为1
    let dp = Array(nums.length).fill(1)
    // 递增子序列的长度
    let res = 1
    for(var i = 1; i < nums.length; i++) {
        if(nums[i] > nums[i-1]) dp[i] = dp[i-1] + 1
        if (dp[i] > res) res = dp[i]
    }
    return res
}

718. 最长重复子数组

给两个整数数组 nums1 和 nums2 ，返回 两个数组中 公共的 、长度最长的子数组的长度。

链接：力扣

解题思路：

本题是要在连续最长子序列基础上，找到两个数组中的公共序列，因此，确定 dp $i$ $j$ 是以 i - 1结尾的子序列1，和以 j - 1结尾的子序列2，最长重复子序列长度为 dp $i$ $j$ 。确定递推公式是：

dp $i$ $j$ = dp $i - 1$ $j - 1$ + 1 && nums1 $i - 1$ == nums2 $j - 1$

关于初始化：dp $i$ $0$ 和dp $0$ $j$ 在整个递推过程中没有实际意义，所以dp $i$ $0$ 和dp $0$ $j$ 初始化为0。（这里需要初始化，方便递推）这里的遍历顺序可以先1后2或者先2后1都可以。

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var findLength = function(nums1, nums2) {
    const len1 = nums1.length, len2 = nums2.length
    // dp数组初始化，都初始化为0
    const dp = Array.from({ length: len1 + 1 }, () => Array(len2 + 1).fill(0))
    // 初始化最大长度为0
    let res = 0
    for(let i = 1; i <= len1; i++) {
        for(let j = 1; j <= len2; j++) {
            if(nums1[i - 1] == nums2[j - 1]) 
                dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1
            res = Math.max(res, dp[i][j])
        }
    }
    return res
}