在前文，已经验证二自由度机械臂在静止状态下，不同方法得到的末端点P的位置坐标值是一致的，此文将简单介绍一下二自由度机械臂正运动学、逆运动学分析。
2.1 正运动学
给出二自由度机械臂两个关节的运动曲线，让机械臂运动，得到末端点P的位置曲线。两个关节角度变化如下所示：
让机械臂按照上述关节角度曲线运动，对比几种方法计算的末端点P的位置曲线。
（1）RT & MDH & MATLAB对比
采用前文所述的机器人工具箱（RT ）、改进DH法（MDH ）和几何法（MATLAB ），根据上文的关节角度轨迹，计算机械臂末端点P的位置变化曲线。三种方法的结果如下图所示：
为了更方便对比不同方法的计算结果，分别对RT&MDH、RT&MATLAB计算的结果进行作差，具体如下：
RT和MDH计算结果的差值：
RT和MATLAB计算结果的差值：
可以看到，RT、MDH和MATLAB这三种方法计算的结果十分接近，误差几乎为零！
（2）RT和Solidworks对比
以机器人工具箱（RT）为基准，与Soldiworks仿真结果进行对比。在Solidworks中，利用Motion模块进行运动学仿真，如下所示：
采集末端点P的位置曲线，与RT计算的结果进行对比，如下所示：
RT和Solidworks计算结果的差值：
可以看出，利用Solidworks进行运动学仿真，其仿真结果准确性虽然不如机器人工具箱，但两者的误差也较小，用来做简单的运动学仿真足以（由于利用Solidworks可以很方便的做运动学、动力学仿真，笔者使用该方法进行仿真较多）。
（3）RT和Simscape对比
以机器人工具箱（RT）为基准，与Simscape仿真结果进行对比。在Simscape中进行运动学仿真，如下所示：
采集末端点P的位置曲线，与RT计算的结果进行对比，如下所示：
RT和Simscape计算结果的差值：
可以看出，利用Simscape进行运动学仿真，其仿真结果准确性较高，但是前期搭建Simscape仿真模型较为麻烦，不过后期如果要做控制相关的课题，离不开Simscape仿真平台。
2.2 逆运动学
给定末端点P的位置坐标（ x p ， y p x_p，y_p xp，yp），求解二自由度机械臂的关节角度（ θ 1 ， θ 2 \theta_1，\theta_2 θ1，θ2）
（1）公式推导
在直角三角形OPC中有： L 0 = x p 2 + y p 2 L _ { 0 } = \sqrt { x _ { p } ^ { 2 } + y _ { p } ^ { 2 } } L0=xp2+yp2 ， θ 0 = arctan ( y p / x p ) \theta_0=\arctan(y_p/x_p) θ0=arctan(yp/xp)， x p = L 0 cos θ 0 x_p=L_0\cos\theta_0 xp=L0cosθ0, y p = L 0 sin θ 0 y_p=L_0\sin\theta_0 yp=L0sinθ0
求解 θ 1 \theta_1 θ1，有公式：
平方相加后为：
由于： x p = L 0 cos θ 0 x_p=L_0\cos\theta_0 xp=L0cosθ0, y p = L 0 sin θ 0 y_p=L_0\sin\theta_0 yp=L0sinθ0，上式可以写成：
也即：
解得：
求解 θ 2 \theta_2 θ2：
<1> 当 x p − L 1 cos θ 1 = 0 x_p-L_1\cos{\theta_1}=0 xp−L1cosθ1=0时，有 cos ( θ 1 + θ 2 ) = 0 \cos(\theta_1 + \theta_2) = 0 cos(θ1+θ2)=0，即：
当 y p > L 1 sin θ 1 y_p\ >\ L_1\sin\theta_1 yp > L1sinθ1，满足 θ 1 + θ 2 = 9 0 ∘ \theta_1 + \theta_2=90^{\circ} θ1+θ2=90∘，有以下四类情况：
此时，可得：
当 y p < L 1 sin θ 1 y_p\ <\ L_1\sin\theta_1 yp < L1sinθ1，满足 θ 1 + θ 2 = − 9 0 ∘ \theta_1 + \theta_2=-90^{\circ} θ1+θ2=−90∘，有以下四类情况：
此时，可得：
<2>当 x p − L 1 cos θ 1 ≠ 0 x_p-L_1\cos{\theta_1}\neq0 xp−L1cosθ1=0时，根据下式：
两式相除，有：
因此可得：
（2）验证
验证轨迹1 ：让二自由度机械臂末端点P以（0.1，0，1）m为圆心，0.02m为半径画圆，如下所示：
按照上一节的公式进行逆运动学计算，算出来了两组解，如下图所示：
为了验证逆运动学是否正确，将算出来的结果再代入正运动学中，看求解出来的末端点P的轨迹曲线是否为上述的圆形轨迹。根据两组解来进行正运动学计算，结果如下所示：
可以看出，理论值（给出的圆形轨迹）和验证值（利用两组解，按照正运动学计算末端点P的轨迹）重合度较高。为了更为直观的观察前后结果，这里通过对坐标值进行作差来进行观察，结果如下所示：
由图可知，在圆形轨迹中，通过逆运动学可算出来两组解。利用这两组解进行正运动学计算，得到的末端点轨迹与给出的圆形轨迹误差几乎为零！！
验证轨迹2 ：让二自由度机械臂末端点P画8字曲线，如下所示：
同理，按照上一节的公式进行逆运动学计算，算出来了两组解，如下图所示：
可以看到，第二组解的 θ 2 \ \theta_2 θ2出现了两个畸变点，这种情况在实际实验、加工中是不允许有的，要注意规避这种情况，这里不做过多深究。同理，为了验证逆运动学是否正确，将算出来的结果再代入正运动学中，看求解出来的末端点P的轨迹曲线是否为上述的8字轨迹。根据两组解来进行正运动学计算，结果如下所示：
可以看出，理论值（给出的8字轨迹）和验证值（利用两组解，按照正运动学计算末端点P的轨迹）重合度较高。为了更为直观的观察前后结果，这里通过对坐标值进行作差来进行观察，结果如下所示：
图可知，在8字轨迹中，通过逆运动学可算出来两组解。利用这两组解进行正运动学计算，得到的末端点轨迹与给出的8字轨迹误差几乎为零！！
（3）小结
对二自由度串联机械臂而言，进行逆运动学求解一般有两组解，且通过本文验证实验表明，所推导的逆运动学公式准确性较高！！
我是木头人，以上全是个人见解，有问题请大家评论区指出，大家共同进步！！