目录
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- [1. 分布函数的直观引入](#1. 分布函数的直观引入)
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- [1.1 从一个例子出发](#1.1 从一个例子出发)
- [1.2 累积分布与分布函数](#1.2 累积分布与分布函数)
- [2. 分布函数的定义](#2. 分布函数的定义)
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- [2.1 数学定义](#2.1 数学定义)
- [2.2 分布函数的图像](#2.2 分布函数的图像)
- [3. 分布函数的性质](#3. 分布函数的性质)
- [4. 离散型与连续型分布函数](#4. 离散型与连续型分布函数)
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- [4.1 离散型分布函数](#4.1 离散型分布函数)
- [4.2 连续型分布函数](#4.2 连续型分布函数)
- [5. 应用与计算](#5. 应用与计算)
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- [5.1 由分布函数计算概率](#5.1 由分布函数计算概率)
- [5.2 分布函数求导](#5.2 分布函数求导)
- [6. 总结与展望](#6. 总结与展望)
分布函数 （Cumulative Distribution Function, CDF）是概率论与数理统计中的核心概念，它用一个函数全面描述了随机变量取值的概率分布情况。在本文中，我们将从直观感受开始，逐步引入分布函数的定义、性质以及离散型和连续型分布函数的区别，并结合实例加深理解。
1. 分布函数的直观引入
1.1 从一个例子出发
假设你正在研究学生的考试成绩分布，绘制了成绩的频率直方图。通过直方图，你可以看到分数落在不同区间的频率，但如果你想知道"分数不超过某个值的学生比例"，该如何计算？
答案是 ：累积频率。
1.2 累积分布与分布函数
累积频率是一种描述"至多取某值"的概率的方法。将这种累积概率 用数学函数表示，就得到了分布函数。
例如，当分数范围为0到100时，假设分布函数 F ( x ) F(x) F(x)表示分数小于等于 x x x的概率，则：
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F ( 60 ) F(60) F(60)表示分数小于等于60的学生比例。
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F ( 100 ) = 1 F(100) = 1 F(100)=1，表示所有学生都拿到了不超过100的分数。
2. 分布函数的定义
2.1 数学定义
对于一个随机变量 X X X，分布函数 F ( x ) F(x) F(x)定义为：
F ( x ) = P ( X ≤ x ) F(x) = P(X \leq x) F(x)=P(X≤x)
即 F ( x ) F(x) F(x)是 X X X取值"小于等于 x x x"的概率。它反映了随机变量取值的累计概率分布。
2.2 分布函数的图像
通过绘制 F ( x ) F(x) F(x)的图像，可以更直观地观察其增长趋势。通常， F ( x ) F(x) F(x)表现为递增的曲线或阶梯状函数，具体形态取决于随机变量的类型。
3. 分布函数的性质
分布函数具有以下重要性质：
- 单调非减性：
对任意 x 1 ≤ x 2 x_1 \leq x_2 x1≤x2，有 F ( x 1 ) ≤ F ( x 2 ) F(x_1) \leq F(x_2) F(x1)≤F(x2)。这是因为概率不会减少。
- 界限：
lim x → − ∞ F ( x ) = 0 , lim x → + ∞ F ( x ) = 1 \lim_{x \to -\infty} F(x) = 0, \quad \lim_{x \to +\infty} F(x) = 1 x→−∞limF(x)=0,x→+∞limF(x)=1
表示 X X X的取值范围包含所有可能性。
- 右连续性：
分布函数 F ( x ) F(x) F(x)在每个 x x x处都是右连续的，即：
lim x → x 0 + F ( x ) = F ( x 0 ) \lim_{x \to x_0^+} F(x) = F(x_0) x→x0+limF(x)=F(x0)
连续性随机变量同时还是左连续的
4. 离散型与连续型分布函数
4.1 离散型分布函数
离散型随机变量的分布函数 F ( x ) F(x) F(x)通过求和表示：
F ( x ) = ∑ x i ≤ x P ( X = x i ) F(x) = \sum_{x_i \leq x} P(X = x_i) F(x)=xi≤x∑P(X=xi)
特点：阶梯状函数，每个阶跃对应某个具体值的概率。
案例 ：掷一颗骰子，随机变量 X X X表示骰子点数。分布函数为：
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F ( 1 ) = P ( X ≤ 1 ) = 1 / 6 F(1) = P(X \leq 1) = 1/6 F(1)=P(X≤1)=1/6
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F ( 2 ) = P ( X ≤ 2 ) = 2 / 6 F(2) = P(X \leq 2) = 2/6 F(2)=P(X≤2)=2/6
以此类推，分布函数的图像是逐步递增的阶梯状。
4.2 连续型分布函数
连续型随机变量的分布函数 F ( x ) F(x) F(x)通过积分表示：
F ( x ) = ∫ − ∞ x f ( t ) d t F(x) = \int_{-\infty}^x f(t) \, dt F(x)=∫−∞xf(t)dt
其中 f ( x ) f(x) f(x)是概率密度函数（PDF）。
特点：平滑曲线，分布函数是概率密度函数的积分。
案例 ：均匀分布在 [ 0 , 1 ] [0, 1] [0,1]上的随机变量，其概率密度函数为 f ( x ) = 1 f(x) = 1 f(x)=1（ x ∈ [ 0 , 1 ] x \in [0, 1] x∈[0,1]）。分布函数为：
F ( x ) = { 0 , x < 0 x , 0 ≤ x ≤ 1 1 , x > 1 F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ x, & 0 \leq x \leq 1 \\ 1, & x > 1 \end{cases} F(x)=⎩ ⎨ ⎧0,x,1,x<00≤x≤1x>1
5. 应用与计算
5.1 由分布函数计算概率
通过分布函数可以直接计算随机变量的区间概率：
P ( a ≤ X ≤ b ) = F ( b ) − F ( a ) P(a \leq X \leq b) = F(b) - F(a) P(a≤X≤b)=F(b)−F(a)
例题 ：已知 F ( x ) F(x) F(x)为标准正态分布的分布函数，求 P ( − 1 ≤ X ≤ 1 ) P(-1 \leq X \leq 1) P(−1≤X≤1)：
P ( − 1 ≤ X ≤ 1 ) = F ( 1 ) − F ( − 1 ) P(-1 \leq X \leq 1) = F(1) - F(-1) P(−1≤X≤1)=F(1)−F(−1)
5.2 分布函数求导
对于连续型随机变量，分布函数的导数就是概率密度函数：
f ( x ) = d d x F ( x ) f(x) = \frac{d}{dx}F(x) f(x)=dxdF(x)
例题 ：已知 F ( x ) = x 2 F(x) = x^2 F(x)=x2（ 0 ≤ x ≤ 1 0 \leq x \leq 1 0≤x≤1），求概率密度函数 f ( x ) f(x) f(x)：
f ( x ) = d d x F ( x ) = 2 x f(x) = \frac{d}{dx}F(x) = 2x f(x)=dxdF(x)=2x
6. 总结与展望
本文从直观实例出发，逐步引入分布函数的定义、性质和计算方法。我们不仅探讨了离散型与连续型分布函数的差异，还通过实例展示了分布函数的应用。
在实际应用中，分布函数被广泛用于统计分析、数据建模和工程问题中。未来的内容中，我们将进一步探讨分布函数与统计学其他概念（如分位数、概率图）的联系。