解析“最大路径和”问题（二）：矩阵取数问题（一般方法论讲解+实例应用分析）

深入解析"最大路径和"问题（二）：树形动态规划与矩阵取数问题

在上一篇博客中，我们通过二叉树的"最大路径和"问题，详细讲解了树形动态规划的解法。然而，路径问题不仅仅存在于树结构中，矩阵中也有类似的路径最优化 问题。这次我们将进一步扩展，分析矩阵取数的问题。

---

问题描述：矩阵取数游戏

题目

小明玩一个矩阵取数游戏，规则如下：

1. 给定一个 n × n n \times n n×n) 的矩阵 a i j a_{ij} aij，其中每个格子的价值 a i j ≥ 0 a_{ij} \geq 0 aij≥0。
2. 游戏从左上角格子 ( 1 , 1 ) (1, 1) (1,1) 出发，只能向右 或下 移动，直到到达右下角格子 ( n , n ) (n, n) (n,n)。
3. 每经过一个格子，就能获得该格子的价值。
4. 要求求出从左上角到右下角路径的最大价值和。

输入

• 第一行：矩阵大小 n n n。
• 接下来的 n n n 行：每行有 n n n个非负整数，表示矩阵格子的价值。

输出

• 最大价值和。

---

方法论：动态规划解法

1. 解题思路

矩阵取数问题是一个典型的二维动态规划问题。

动态规划的核心是通过构造一个二维数组 d p dp dp，记录到达每个格子的最大价值和，逐步计算出右下角的最大得分。

状态定义

• d p i j dpij dpij：表示从左上角到达格子 ( i , j ) (i, j) (i,j) 的最大价值和。

状态转移方程

我们定义： a i j aij aij为矩阵位置 ( i , j ) (i,j) (i,j)的价值。

从起点到达格子 ( i , j ) (i, j) (i,j)，只能从上方或左方到达，因此：
d p i j = max ⁡ ( d p i − 1 j , d p i j − 1 ) + a i j dpij = \max(dpi-1j, dpij-1) + a_{ij} dpij=max(dpi−1j,dpij−1)+aij

边界条件

• 起点 d p 0 0 = a 00 dp00 = a_{00} dp00=a00。
• 第一行和第一列只能从左或上单向到达：
  • 第一行： d p 0 j = d p 0 j − 1 + a 0 j dp0j = dp0j-1 + a_{0j} dp0j=dp0j−1+a0j
  • 第一列： d p i 0 = d p i − 1 0 + a i 0 dpi0 = dpi-10 + a_{i0} dpi0=dpi−10+ai0

2. 算法步骤

1. 初始化二维数组 d p dp dp，大小为 n × n n \times n n×n。
2. 填充边界条件：第一行和第一列的值。
3. 按照状态转移方程依次填充 d p i j dpij dpij。
4. 返回右下角 d p n − 1 n − 1 dpn-1n-1 dpn−1n−1 的值。

3. 时间复杂度

• 时间复杂度： O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)，因为需要填充一个 n × n n \times n n×n 的矩阵。
• 空间复杂度： O ( n 2 ) O(n^2) O(n2)（可通过滚动数组优化至 O ( n ) O(n) O(n)）。

---

代码实现（C++）

#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>
using namespace std;

int main() {
    int n;
    cin >> n;
    vector<vector<int>> matrix(n, vector<int>(n)); // 输入矩阵
    vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(n));     // 动态规划数组

    // 输入矩阵值
    for (int i = 0; i < n; ++i) {
        for (int j = 0; j < n; ++j) {
            cin >> matrix[i][j];
        }
    }

    // 初始化起点
    dp[0][0] = matrix[0][0];

    // 初始化第一行
    for (int j = 1; j < n; ++j) {
        dp[0][j] = dp[0][j-1] + matrix[0][j];
    }

    // 初始化第一列
    for (int i = 1; i < n; ++i) {
        dp[i][0] = dp[i-1][0] + matrix[i][0];
    }

    // 填充动态规划数组
    for (int i = 1; i < n; ++i) {
        for (int j = 1; j < n; ++j) {
            dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + matrix[i][j];
        }
    }

    // 输出右下角的最大价值和
    cout << dp[n-1][n-1] << endl;

    return 0;
}

---

实例解析：一步步解决问题

输入示例

4
1 3 1 2
1 5 1 1
4 2 1 3
1 1 1 10

动态规划表计算

初始化：

• 起点 d p 0 0 = 1 dp00 = 1 dp00=1

填充第一行和第一列：

i \ j i \backslash j i\j	1	3	1	2
1	1	4	5	7
5	2
4	6
1	7

填充其余格子：

按照状态转移公式逐步计算：

i \ j i \backslash j i\j	1	3	1	2
1	1	4	5	7
5	2	9	10	11
4	6	11	12	15
1	7	12	13	25

输出结果

最终最大价值和为 d p 3 3 = 25 dp33 = 25 dp33=25。

---

矩阵问题与树问题的对比

特性	树形动态规划	矩阵动态规划
数据结构	树	矩阵
转移方向	从子树到父节点	从左上角向右下角
优化难点	合理选择路径的起点和终点	优化空间复杂度
时间复杂度	( O(n) )	( O(n^2) )

---

总结与扩展

总结

• 矩阵取数问题是"最大路径和"问题的二维拓展，核心仍然是动态规划。
• 状态转移方程清晰，适合由浅入深引导学习。
• 动态规划思路灵活，稍作调整可用于更复杂的二维路径问题。

扩展问题

1. 如果允许向四个方向移动（上下左右），如何解决？
2. 如果要求路径不能重复访问某些特定的格子，该如何修改算法？

希望这篇博客对你理解"最大路径和"问题的多种变体有所帮助！