拓扑排序模板题：洛谷-家谱树

题目：

题目描述

有个人的家族很大，辈分关系很混乱，请你帮整理一下这种关系。给出每个人的后代的信息。输出一个序列，使得每个人的后辈都比那个人后列出。

输入格式

第 1 行一个整数 𝑁（1≤𝑁≤100），表示家族的人数。接下来 𝑁 行，第 𝑖 行描述第 𝑖 个人的后代编号 𝑎𝑖,𝑗，表示 𝑎𝑖,𝑗是 𝑖 的后代。每行最后是 0 表示描述完毕。

输出格式

输出一个序列，使得每个人的后辈都比那个人后列出。如果有多种不同的序列，输出任意一种即可。

输入输出样例

输入
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5
0
4 5 1 0
1 0
5 3 0
3 0
输出
复制代码
2 4 

思路：

这道题是拓扑排序的模板题，所以思路主要介绍拓扑排序。

拓扑排序并不是类似于快排、冒泡给一串数字从大到小或者从小到大排序。拓扑排序的目的是：在一张有向无环图中，排出一个序列满足：图中的每一条有向边{x, y}，x 在我们排出的序列中都出现在 y 之前，得到的序列我们成为拓扑序列。

为什么一定是有向无环图呢？这个问题留到后面回答。

拓扑排序的思想是：每次选中入度为0的点，删除这个点和它的出边，并把它加入拓扑序列。

我们对这张有向无环图进行拓扑排序：

1.选中A，删除A与A的出边，把A加入拓扑序列，图片如下：

2.B和E都是入度为0的点，我们任意选一个就可以了，不难看出，拓扑序列不是唯一的，可能有多种。这里我们选B。

3.接下来选E，重复上述操作。当前的拓扑序列是{A，B，E}.

4.不难看出，最后得到的拓扑序列是{A，B，E，D，C}.

我们回到刚才的问题：为什么一定是有向无环图呢？

我们以这张图为例：

接下来进行拓扑排序：

按照拓扑排序的思想，我们应该找到一个入度为0的点，而在这张图中我们找不到入度为0的点，这是因为图中出现了环。我们对它进行拓扑排序，最后得到的是一个空的拓扑序列。

根据这个特点，我们可以使用拓扑排序来判断图中是否有环，即根据最后得到的拓扑序列中元素个数是否与图中结点的个数相等。如果相等，即无环，不相等则有环。

拓扑排序的模板代码：

cpp 复制代码

int h[N], e[M], nx[M], tp[N];
int idx = 0, cnt = 0;
int dx[N];
int n;

void add(int x, int y) {
	e[idx] = y;
	nx[idx] = h[x];
	h[x] = idx;
	idx++;
	dx[y]++;//出度加一
}

bool topsort() {
	queue<int>q;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		if (dx[i] == 0) q.push(i);//入度为0则入队
	}

	while (!q.empty()) {
		int x = q.front(); q.pop();
		tp[cnt++] = x;
		for (int i = h[x]; i != -1; i = nx[i]) {
			if (--dx[e[i]] == 0) q.push(e[i]);
		}
	}

	return cnt == n;//判断是否有环
}

代码的核心思想是使用队列来维护一个入度为0的结点的集合。

其中dx $x$ 是结点x的入度，tp\[\]存放拓扑序列，使用数据模拟邻接表的方法存储图。

不了解数组模拟邻接表的可以看我上一篇博客：AcWing-1562.微博转发-再谈图的存储结构-CSDN博客

AC代码：

cpp 复制代码

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cstring>
#define MEM(x, y) memset(x, y, sizeof x)
using namespace std;

const int N = 105, M = 1e4 + 5;
int h[N], e[M], nx[M], tp[N];
int idx = 0, cnt = 0;
int dx[N];
int n;

void add(int x, int y) {
	e[idx] = y;
	nx[idx] = h[x];
	h[x] = idx;
	idx++;
	dx[y]++;
}

bool topsort() {
	queue<int>q;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		if (dx[i] == 0) q.push(i);
	}

	while (!q.empty()) {
		int x = q.front(); q.pop();
		tp[cnt++] = x;
		for (int i = h[x]; i != -1; i = nx[i]) {
			if (--dx[e[i]] == 0) q.push(e[i]);
		}
	}

	return cnt == n;
}


int main() {
	MEM(h, -1);
	MEM(dx, 0);
	cin >> n;
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		int temp = 0; cin >> temp;
		while (temp != 0) {
			add(i, temp);
			cin >> temp;
		}
	}

	topsort();

	for (int i = 0; i < cnt; i++) {
		cout << tp[i] << " ";
	}
	cout << endl;
	
	return 0;
}

此题还有更多更优解法，不再一一介绍了，文章尚有不足，欢迎大佬们指正。