第二章 随机变量及其分布
2 随机变量的分布函数
2.1 分布函数的概念
对于++非离散型++得随机变量就无法用分布律来描述它了。
首先，我们不能将其所有可能的取值一一地列举出来，如连续型随机变量的取值可充满数轴的一个区间 ( a , b ) (a,b) (a,b)，甚至是 n n n个区间，也可以是无穷区间；其次，对于连续型随机变量 X X X，任取一指定实数值 x x x的概率是0，即 P { X = x } = 0 P\{X=x\}=0 P{X=x}=0。
我解释下，因为连续型随机变量 X X X的取值在某个或很多个区间内，那取值的个数就是无限个，在无限个可能中 x x x仅仅是其中一个，因此，仅仅这一个取值对应的概率就是0。
于是，如何刻画一般的随机变量的统计规律就成了我们的首要问题。
在实际应用中，如测量某物理量的误差 ξ \xi ξ，测量灯泡寿命 τ \tau τ等这样的随机变量，我们并不会对误差或寿命的某一特定值的概率感兴趣，而是考虑误差落在某个区间的概率，寿命大于某个数的概率之类的。
对于随机变量 X X X，我们关心诸如事件 { X ≤ x } , { X > x } , { x 1 < X ≤ x 2 } \{X \le x\},\ \{X \gt x\},\ \{x_1 \lt X \le x_2\} {X≤x}, {X>x}, {x1<X≤x2}等的概率，但是由于 x 1 ≤ x 2 x_1 \le x_2 x1≤x2，且 { X ≤ x 1 } ⊂ { X ≤ x 2 } \{X \le x_1\} \subset \{X \le x_2\} {X≤x1}⊂{X≤x2}；所以： { x 1 < X ≤ x 2 } = { X ≤ x 2 } − { X ≤ x 1 } \{x_1 \lt X \le x_2\} = \{X \le x_2\} - \{X \le x_1\} {x1<X≤x2}={X≤x2}−{X≤x1}。
又因 { X > x } \{X \gt x\} {X>x}的对立事件为 { X ≤ x } \{X \le x\} {X≤x}，所以： P { X > x } = 1 − P { X ≤ x } P\{X \gt x\} = 1 - P\{X \le x\} P{X>x}=1−P{X≤x}。
因此， { X ≤ x } \{X \le x\} {X≤x}的概率 P { X ≤ x } P\{X \le x\} P{X≤x}成了关键的角色，我们记 F ( x ) = P { X ≤ x } F(x) = P\{X \le x\} F(x)=P{X≤x}，任意给定的 x ∈ ( − ∞ , + ∞ ) x \in (-\infty,+\infty) x∈(−∞,+∞)，对应的 F ( x ) F(x) F(x)是一个概率。 P { X ≤ x } ∈ [ 0 , 1 ] P\{X \le x\} \in [0,1] P{X≤x}∈[0,1]，说明 F ( x ) F(x) F(x)是定义在 ( − ∞ , + ∞ ) (-\infty,+\infty) (−∞,+∞)上的普通实值函数，从而引出随机变量分布函数的定义。
解释下，上面任何不等式中 ≤ 和 < \le和\lt ≤和<、 ≥ 和 > \ge和\gt ≥和>是分别等价的；因为 = = =对应值的概率是0，所以有没有 = = =并不影响计算结果。
定义7： 设 X X X为随机变量，称函数 F ( x ) = P { X ≤ x } , x ∈ ( − ∞ , + ∞ ) F(x)=P\{X \le x\},\ \ x \in (-\infty,+\infty) F(x)=P{X≤x}, x∈(−∞,+∞)为 X X X的++分布函数++。
注意：随机变量的分布函数定义适用于任意随机变量，包括离散型随机变量；因此，++离散型随机变量既有分布律又有分布函数++。
当 X X X为离散型随机变量时，设 X X X的分布律为： p k = P { X = k } , k = 0 , 1 , 2 , . . . p_k = P\{X=k\},\ \ k=0,1,2,... pk=P{X=k}, k=0,1,2,...。
由于 { X ≤ x } = ∪ x k ≤ x { X = x k } \{X \le x\} = \cup_{x_k \le x} \{X = x_k\} {X≤x}=∪xk≤x{X=xk}，由概率性质知： F ( x ) = P { X ≤ x } = ∑ x k ≤ x { X = x k } = ∑ x k ≤ x p k F(x) = P\{X \le x\} = \sum_{x_k \le x} \{X = x_k\} = \sum_{x_k \le x} p_k F(x)=P{X≤x}=∑xk≤x{X=xk}=∑xk≤xpk即： F ( x ) = ∑ x k ≤ x p k F(x) = \sum_{x_k \le x} p_k F(x)=∑xk≤xpk。
这是在微观上将连续型的取值看作时更小颗粒度的离散装的取值，从而得出的结论。底层逻辑是：为什么连续？因为颗粒度足够小。
例1：离散型随机变量 X X X的分布律为：
| X | -1 | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|---|
| P | 0.2 | 0.1 | 0.3 | 0.4 |
求 X X X的分布函数。
解：当 x < − 1 x \lt -1 x<−1时 F ( x ) = P { X ≤ x } = 0 F(x) = P\{X \le x\} = 0 F(x)=P{X≤x}=0
当 − 1 ≤ x < 0 -1 \le x \lt 0 −1≤x<0时 F ( x ) = P { X ≤ x } = P { X = − 1 } = 0.2 F(x) = P\{X \le x\} = P\{X = -1\} = 0.2 F(x)=P{X≤x}=P{X=−1}=0.2
当 0 ≤ x < 1 0 \le x \lt 1 0≤x<1时 F ( x ) = P { X ≤ x } = P { X = − 1 } + P { X = 0 } = 0.2 + 0.1 = 0.3 F(x) = P\{X \le x\} = P\{X = -1\} + P\{X=0\} = 0.2+0.1 = 0.3 F(x)=P{X≤x}=P{X=−1}+P{X=0}=0.2+0.1=0.3
当 1 ≤ x < 2 1 \le x \lt 2 1≤x<2时 F ( x ) = P { X ≤ x } = P { X = − 1 } + P { X = 0 } + P { X = 1 } = 0.2 + 0.1 + 0.3 = 0.6 F(x) = P\{X \le x\} = P\{X = -1\} + P\{X=0\} + P\{X=1\} = 0.2 + 0.1 + 0.3 = 0.6 F(x)=P{X≤x}=P{X=−1}+P{X=0}+P{X=1}=0.2+0.1+0.3=0.6
当 x ≥ 2 x \ge 2 x≥2时 F ( x ) = P { X ≤ x } = P { X = − 1 } + P { X = 0 } + P { X = 1 } + P { X = 2 } = 0.2 + 0.1 + 0.3 + 0.4 = 1 F(x) = P\{X \le x\} = P\{X = -1\} + P\{X=0\} + P\{X=1\} + P\{X=2\} = 0.2+0.1+0.3+0.4=1 F(x)=P{X≤x}=P{X=−1}+P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=0.2+0.1+0.3+0.4=1
++特别注意，看清 F ( x ) F(x) F(x)作为分布函数的定义；无论何时它都代表 X ≤ x X \le x X≤x的概率，只不过 x x x是由定义域的变量而已。++
++还需要注意，对于离散型随机变量的分布函数要特别关注取值边界，特别关注 = = =敌营的取值是否被包含。++
因此， X X X的分布函数为：
F ( x ) = { 0 , x < 1 0.2 , − 1 ≤ x < 0 0.3 , 0 ≤ x < 1 0.6 , 1 ≤ x < 2 1 , x ≥ 2 F(x)= \begin{cases} 0, &x\lt 1 \\ 0.2, &-1 \le x \lt 0 \\ 0.3, &0 \le x \lt 1 \\ 0.6, &1 \le x \lt 2 \\ 1, &x \ge 2 \end{cases} F(x)=⎩ ⎨ ⎧0,0.2,0.3,0.6,1,x<1−1≤x<00≤x<11≤x<2x≥2
其图像为：
2.2 分布函数的性质
① 0 ≤ F ( x ) ≤ 1 0 \le F(x) \le 1 0≤F(x)≤1
② F ( x ) F(x) F(x)不是减函数，即对于任意 x 1 < x 2 x_1 \lt x_2 x1<x2都有 F ( x 1 ) ≤ F ( x 2 ) F(x_1) \le F(x_2) F(x1)≤F(x2)；
③ F ( − ∞ ) = 0 , F ( + ∞ ) = 1 F(-\infty) = 0,\ F(+\infty) = 1 F(−∞)=0, F(+∞)=1即 lim x → − ∞ F ( x ) = 0 , lim x → − ∞ F ( x ) = 1 \lim_{x \to -\infty} F(x) = 0,\ \lim_{x \to -\infty} F(x) = 1 limx→−∞F(x)=0, limx→−∞F(x)=1；
④ F ( x ) F(x) F(x)右连续，即 lim Δ x → 0 + F ( x + Δ x ) = F ( x ) \lim_{\Delta{x} \to 0^+} F(x + \Delta{x}) = F(x) limΔx→0+F(x+Δx)=F(x)。
例2：设随机变量 X X X的分布函数为：
F ( x ) = { a + b e − λ x , x > 0 0 , x ≤ 0 F(x)= \begin{cases} a + be^{-\lambda x}, & x>0 \\ 0, & x\le 0 \end{cases} F(x)={a+be−λx,0,x>0x≤0
其中， λ > 0 \lambda \gt 0 λ>0为常数，求常数 a a a和 b b b的值。
解：由题意有： F ( + ∞ ) = lim x → + ∞ F ( x ) = lim x → + ∞ ( a + b e − λ x ) = a F(+\infty) =\lim_{x \to +\infty} F(x) = \lim_{x \to +\infty} (a + be^{-\lambda x}) = a F(+∞)=limx→+∞F(x)=limx→+∞(a+be−λx)=a
由分布函数性质 F ( + ∞ ) = 1 F(+\infty) = 1 F(+∞)=1得 a = 1 a = 1 a=1
由 F ( x ) F(x) F(x)的右连接性得： F ( 0 + 0 ) = lim Δ x → 0 + F ( x ) = lim Δ x → 0 ( a + b e − λ 0 ) = a + b = 0 F(0+0) = \lim_{\Delta x \to 0^+} F(x) = \lim_{\Delta x \to 0} (a + be^{-\lambda 0}) = a + b = 0 F(0+0)=limΔx→0+F(x)=limΔx→0(a+be−λ0)=a+b=0 # 从x=0左侧不断逼近0出的极限值与x=0处的值相同(不中断)！
所以： b = − 1 b = -1 b=−1
因此： a = 1 , b = − 1 a = 1,\ b = -1 a=1, b=−1。
补充下数学知识：自然常数，符号 e e e，为数学中一个常数，是一个无限不循环小数，且为超越数，其值约为2.718281828459045。它是自然对数函数的底数。有时称它为欧拉数，以瑞士数学家欧拉命名。
e e e作为数学常数，它的其中一个定义是： e = lim x → ∞ ( 1 + 1 x ) x e = \lim_{x \to \infty}(1 + \frac{1}{x})^x e=limx→∞(1+x1)x。
同时： e = ∑ n = 0 ∞ 1 n ! = 1 0 ! + 1 1 ! + 1 2 ! + 1 3 ! + . . . e = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} = \frac{1}{0!} + \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} + \frac{1}{3!} + ... e=∑n=0∞n!1=0!1+1!1+2!1+3!1+...。 注意： 0 ! = 1 , 1 ! = 1 0! = 1,\ 1! =1 0!=1, 1!=1。
在已知 X X X的分布函数 F ( x ) F(x) F(x)情况下，我们可知以下重要事件的概率：
① P { X ≤ b } = F ( b ) P\{X \le b\} = F(b) P{X≤b}=F(b)
② P { a < X ≤ b } = F ( b ) − F ( a ) P\{a \lt X \le b\} = F(b) - F(a) P{a<X≤b}=F(b)−F(a)
③ P { X > b } = 1 − P { X ≤ b } = 1 − F ( b ) P\{X \gt b\} = 1 - P\{X \le b\} = 1- F(b) P{X>b}=1−P{X≤b}=1−F(b)
例3：设随机变量 X X X的分布函数为：
F ( x ) = { 0 , x < 0 x 3 , 0 ≤ x < 1 x 2 , 1 ≤ x < 2 1 , x ≥ 2 F(x) = \begin{cases} 0, & x \lt 0 \\ \frac{x}{3}, & 0 \le x \lt 1 \\ \frac{x}{2}, & 1 \le x \lt 2 \\ 1, & x \ge 2 \end{cases} F(x)=⎩ ⎨ ⎧0,3x,2x,1,x<00≤x<11≤x<2x≥2
求：(1) P { 1 2 < X ≤ 3 2 } P\{\frac{1}{2} \lt X \le \frac{3}{2}\} P{21<X≤23} (2) P { X > 1 2 } P\{ X \gt \frac{1}{2}\} P{X>21} (3) P { X > 3 2 } P\{ X \gt \frac{3}{2}\} P{X>23}
解：(1) P { 1 2 < x ≤ 3 2 } = F ( 3 2 ) − F ( 1 2 ) = 3 4 − 1 6 = 7 12 P\{\frac{1}{2} \lt x \le \frac{3}{2}\} = F(\frac{3}{2}) - F(\frac{1}{2}) = \frac{3}{4} - \frac{1}{6} = \frac{7}{12} P{21<x≤23}=F(23)−F(21)=43−61=127
(2) P { X > 1 2 } = 1 − F ( 1 2 ) = 1 − 1 6 = 5 6 P\{X \gt \frac{1}{2}\} = 1 - F(\frac{1}{2}) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6} P{X>21}=1−F(21)=1−61=65
(3) P { X > 3 2 } = 1 − F ( 3 2 ) = 1 − 3 4 = 1 4 P\{X \gt \frac{3}{2}\} = 1 - F(\frac{3}{2}) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} P{X>23}=1−F(23)=1−43=41