概率论常用的分布公式

01 常见离散型分布及其概率分布、期望和方差公式

伯努利分布

• 概率分布 ：
• 期望： E(X)=p
• 方差：D(X)=p(1−p)

二项分布

• 概率分布 ：
• 期望：E(X)=np
• 方差： D(X)=np(1−p)
• **表示方法：**X∼B(n,p)

泊松分布

• 概率分布 ：
• 期望：E(X)=λ
• 方差： D(X)=λ
• 表示方法：X∼P(λ)

几何分布

• 概率分布 ：
• 期望 ：
• 方差 ：

超几何分布

• 概率分布 ：
• 期望 ：
• 方差 ：
• 表示方法：X∼h(n,N,M)

单点分布

• 概率分布：P{x=a} = 1

分布名称	概率分布	期望公式	方差公式
0-1分布	P(X = 1) = p, P(X = 0) = q (q = 1 - p)	E(X) = p	Var(X) = pq
二项分布	P(X = k) = C(n, k) * p^k * q^(n-k) (k = 0, 1,..., n)	E(X) = np	Var(X) = npq
泊松分布	P(X = k) = (λ^k * e^(-λ)) / k! (k = 0, 1, 2,...)	E(X) = λ	Var(X) = λ
几何分布	P(X = k) = q^(k-1) * p (k = 1, 2, 3,...)	E(X) = 1/p	Var(X) = (1-p)/p^2
超几何分布	P(X = k) = (C(M, k) * C(N-M, n-k)) / C(N, n) (k = 0, 1,..., min(M, n))	E(X) = (nM)/N	Var(X) = (nM(N-M)(N-n))/(N^2(N-1))

02 常见的连续型分布包括以下几种：

均匀分布

• 概率密度函数 ：
• 期望 ：
• 方差 ：

正态分布

• 概率密度函数 ：
• 期望：E(X)=μ
• 方差： Var(X)=σ^2
• 标准化公式为：
• 表示方法：N(μ,σ^2)

指数分布

• 概率密度函数： f(x)=λexp(−λx) ，其中 x≥0
• 期望： E(X)=1/λ
• 方差 ： Var(X)=1/λ^2
  

伽马分布

• 概率密度函数 ：
• 期望：E(X)=α/λ
• 方差： Var(X)=α/λ^2

贝塔分布

• 概率密度函数 ：
• 期望： E(X)=a/(a+b)
• 方差 ：

卡方分布

• 概率密度函数 ：
• 期望： E(X)=k
• 方差： Var(X)=2k

7. 柯西分布
   • 概率密度函数 ：
   • 期望：不存在
   • 方差：不存在

对数正态分布

• 概率密度函数 ：
• 期望 ：
• 方差 ：

韦布尔分布

• 概率密度函数 ：
• 期望 ：
• 方差 ：

分布名称	概率密度函数	表示方法	期望	方差
正态分布		N(μ,σ^2)	μ
均匀分布		U(a,b)
指数分布		Exp(λ)
伽玛分布		Γ(r,λ)
贝塔分布		B(α,β)
对数正态分布		LN(μ,σ^2)
韦布尔分布		W(k,λ)