【动态规划-矩阵】6.最大正方形

题目

难度: 中等
题目内容:

在一个由 '0' 和 '1' 组成的二维矩阵内,找到只包含 '1' 的最大正方形,并返回其面积。
示例1:

输入:matrix = [["1","0","1","0","0"],["1","0","1","1","1"],["1","1","1","1","1"],["1","0","0","1","0"]]

输出:4

示例2:

输入:matrix = [["0","1"],["1","0"]]

输出:1

前置思路

拿到题最直觉的思路就是遍历当遇到'1'则进行展开获取以该点为顶点的,向右,向下展开后的最大边长,并将最大边长保存下来,最后返回最大边长的乘积。但这个 思路有个很明显的问题就是会存在很多重复计算的过程。

如果将这个过程用动态规划的思路简化是关键。

首先以2*2的正方形,找到最大边长的过程进行描述:

1.找到某个顶点,该顶点处于左上角,当前正方形最大边长就是1

2.此时只需要找与该点相邻的右点,下点,以及右下点,确认他们是否都是1即可

3.相对的,右下点的相邻上点,左点,以及左上点也都是1

可以推测,找到最大正方形的关键是正方形的对角线,且对角线的每个点都可以通过左上点的最大正方形边长+1来更新最大边长,前提是新的两条边都能填满。

那么先做一个假设,假设每一点都能记录下到该点(该点向左上延伸)的最大正方形边长,当且仅当某一点的左,上,左上能组成的最大正方形边长相等,才能使得最大正方形的边长+1。

进一步简化这个思路,某一个点所能组成的最大正方形边长(该点向左上延伸),(为相邻三点所能组成最大正方形边长的最小值)+1,因为更大值可以向下兼容,抽出某些部分结合新的点组成新的正方形。

代码

python 复制代码
class Solution:
    def maximalSquare(self, matrix: List[List[str]]) -> int:
        m = len(matrix)
        n = len(matrix[0])
        dp = [[0] * n for _ in range(m)]
        # 记录最大正方形的边长
        maxLen = 0
        # 边界值计算
        for i in range(m):
            if matrix[i][0] == "1":
                dp[i][0] = 1
                maxLen = 1
            else:
                dp[i][0] = 0
        for j in range(1,n):
            if matrix[0][j] == "1":
                dp[0][j] = 1
                maxLen = 1
            else:
                dp[0][j] = 0
        for i in range(1,m):
            for j in range(1,n):
                # 如果为"1"则使用状态转移方程来记录该点最大边长,并判断当前最大边长
                if matrix[i][j] == "1":
                    dp[i][j] = min(dp[i-1][j],dp[i][j-1],dp[i-1][j-1]) + 1
                    maxLen = dp[i][j] if dp[i][j] > maxLen else maxLen
                else:
                    dp[i][j] = 0
        return maxLen * maxLen

思考

这题的前置思考已经描述得比较详细了,大致是我得思路过程,从正向的方法,再利用状态的转移来考虑如何记录下有效的状态,有效的状态既可以被新的条件转移,又可以计算出最终的结果。

这里比较关键的,我认为有两点:

1.发现对角线是判断正方形成立的关键

2.理解当某一点能形成的最大正方形,其部分能够被相邻点利用

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