力扣 最长递增子序列

动态规划，二分查找。

题目

由题，从数组中找一个最长子序列，不难想到，当这个子序列递增子序列的数越接近时是越容易拉长的。从dp上看，当遍历到这个数，会从前面的dp选一个最大的数加上当前数，注意这里的dp是每遍历到一个数都会加进去。而这里的dp数组同样是用来维护到某个数时的ans，nums数组是做了比较的，因此也有可能内循环时数组中的一些数是没有做更新的，因此最后一步肯定是加上当前的数后再进行一次与更新的dp比较进行选最大。

时间复杂度：O(n^2)，空间复杂度：O(n)。

class Solution {
    public int lengthOfLIS(int[] nums) {
        int n = nums.length, ans = 0;
        int[] f = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                if (nums[j] < nums[i]) {
                    f[i] = Math.max(f[i], f[j]);
                }
            }
            f[i]++;
            ans = Math.max(ans, f[i]);
        }
        return ans;
    }
}

接着是更快的，用二分查找的方法，在用二分时用mid去找目标值。而这里每遍历到数组的一个数时，同样可以与tails的数去做比较，注意如果遍历到的数与dp的数做比较时mid在大的一边没有移动过，说明这个数就是大的可以追加到原数组的尾巴，即有位置可以插入。

时间复杂度：O(nlogn)，空间复杂度：O(n)。

class Solution {
    public int lengthOfLIS(int[] nums) {
        int[] tails = new int[nums.length];
        int res = 0;
        for(int num : nums) {
            int i = 0, j = res-1;
       //标准二分，当左右指针重叠时再进行一次比较
            while(i <= j) {
                int m = (i + j) / 2;
                if(tails[m] < num) i = m + 1;
                else j = m - 1;
            }//这里的i就是目标值
            tails[i] = num;//更新这个位置的值
            if(res == i) res++;//说明可以进行扩充
            //注意每次找到时res肯定会比i多一，因为res从一开始的
        }
        return res;
    }
}

很典型的一道例题，可以用dp的状态维护，找到前面的状态，不过每到一个数都要dp两次。而二分查找目标值的方法，刚好让比目标值小的存到tails数组，比tails数组大的直接追加，以此来更新最长递增子序列。