四 矩阵的LU分解
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- [1. AB的逆矩阵](#1. AB的逆矩阵)
- [2. 转置矩阵](#2. 转置矩阵)
- [3. A=LU](#3. A=LU)
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- [3.1 2x2矩阵](#3.1 2x2矩阵)
- [3.2 3x3矩阵](#3.2 3x3矩阵)
- [3.3 nxn的矩阵分解的次数？](#3.3 nxn的矩阵分解的次数？)
1. AB的逆矩阵
{ ( A B ) ( B − 1 A − 1 ) = I ( B − 1 A − 1 ) ( A B ) = I ⇒ ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 \begin{cases} (AB)(B^{-1}A^{-1}) = I\\ (B^{-1}A^{-1}) (AB)=I \end{cases} \Rightarrow (AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1} {(AB)(B−1A−1)=I(B−1A−1)(AB)=I⇒(AB)−1=B−1A−1
2. 转置矩阵
A A − 1 = I ⇒ 两边同时转置 ( A A − 1 ) T = I ⇒ ( A B ) T = B T A T ( A − 1 ) T A T = I \begin{aligned} AA^{-1}=I & \newline \xRightarrow{\text{两边同时转置}} (AA^{-1})^{T}=I &\newline \xRightarrow {(AB)^T = B^TA^T} (A^{-1})^TA^T=I \end{aligned} AA−1=I两边同时转置 (AA−1)T=I(AB)T=BTAT (A−1)TAT=I
转置矩阵的逆 = 逆矩阵的转置
3. A=LU
3.1 2x2矩阵
A矩阵进行消元，可以得到EA=U
1 0 − 4 1 \] ⏟ E \[ 2 1 8 7 \] ⏟ A = \[ 2 1 0 3 \] ⏟ U \\underbrace{\\begin{bmatrix} 1\&0\\\\ -4\&1 \\end{bmatrix}}_{E} \\underbrace{\\begin{bmatrix} 2\&1\\\\ 8 \&7 \\end{bmatrix}}_{\\text{A}}= \\underbrace{\\begin{bmatrix} 2\&1\\\\ 0\&3 \\end{bmatrix}}_{U} E \[1−401\]A \[2817\]=U \[2013
两边同时乘以 E − 1 E^{-1} E−1，得到A=LU。其中L为下三角矩阵(lower),U为上三角矩阵(upper)。
2 1 8 7 \] ⏟ A = \[ 1 0 4 1 \] ⏟ L \[ 2 1 0 3 \] ⏟ U \\underbrace{\\begin{bmatrix} 2\&1\\\\ 8 \&7 \\end{bmatrix}}_{\\text{A}}=\\underbrace{\\begin{bmatrix} 1\&0\\\\ 4\&1 \\end{bmatrix}}_{L} \\underbrace{\\begin{bmatrix} 2\&1\\\\ 0\&3 \\end{bmatrix}}_{U} A \[2817\]=L \[1401\]U \[2013
3.2 3x3矩阵
样例来源于 2.【线性代数】------矩阵消元的第三部分
其中 E 21 E_{21} E21表示 r o w 2 − 3 r o w 1 row_2-3row_1 row2−3row1, E 32 E_{32} E32表示 r o w 3 − 2 r o w 2 row_3-2row_2 row3−2row2
1 0 0 0 1 0 0 − 2 1 \] ⏟ E 32 \[ 1 0 0 − 3 1 0 0 0 1 \] ⏟ E 21 \[ 1 2 1 3 8 1 0 4 1 \] ⏟ A = \[ 1 2 1 0 2 − 2 0 0 5 \] ⏟ U \\underbrace{\\begin{bmatrix} 1\&0\&0\\\\ 0\&1\&0\\\\ 0\&-2\&1\\\\ \\end{bmatrix}}_{E_{32}} \\underbrace{\\begin{bmatrix} 1\&0\&0\\\\ -3\&1\&0\\\\ 0\&0\&1\\\\ \\end{bmatrix}}_{E_{21}} \\underbrace{\\begin{bmatrix} 1\&2\&1\\\\ 3\&8 \&1\\\\ 0\&4\&1 \\end{bmatrix}}_{\\text{A}}= \\underbrace{\\begin{bmatrix} 1\&2\&1\\\\ 0\&2\&-2\\\\ 0\&0\&5 \\end{bmatrix}}_{\\text{U}} E32 10001−2001 E21 1−30010001 A 130284111 =U 1002201−25 A = ( E 21 ) − 1 ( E 32 ) − 1 U A=(E_{21})\^{-1}(E_{32})\^{-1}U A=(E21)−1(E32)−1U 逆矩阵的求法，参考 [2.【线性代数】------矩阵消元的第五部分](https://blog.csdn.net/sda42342342423/article/details/145588212) L = \[ 1 0 0 3 1 0 0 0 1 \] ⏟ ( E 21 ) − 1 \[ 1 0 0 0 1 0 0 2 1 \] ⏟ ( E 32 ) − 1 = \[ 1 0 0 3 1 0 0 2 1 \] L = \\underbrace{\\begin{bmatrix} 1\&0\&0\\\\ 3\&1\&0\\\\ 0\&0\&1\\\\ \\end{bmatrix}}_{(E_{21})\^{-1}} \\underbrace{\\begin{bmatrix} 1\&0\&0\\\\ 0\&1\&0\\\\ 0\&2\&1\\\\ \\end{bmatrix}}_{(E_{32})\^{-1}} =\\begin{bmatrix} 1\&0\&0\\\\ \\boxed{3}\&1\&0\\\\ 0\&\\boxed{2}\&1\\\\ \\end{bmatrix} L=(E21)−1 130010001 (E32)−1 100012001 = 130012001 为什么用L矩阵？ * 因为在不存在行交换的额情况下，消元乘数可直接写入L #### 3.3 nxn的矩阵分解的次数？ \[ a b c d \] ⇒ \[ a b c − a ∗ c a d − b ∗ c a \] , c − a ∗ c a 是一次操作。 \\begin{bmatrix} a\&b\\\\ c\&d\\\\ \\end{bmatrix} \\Rightarrow \\begin{bmatrix} a\&b\\\\ c-a\*{\\frac c a}\&d-b\*{\\frac c a}\\\\ \\end{bmatrix}, \\boxed{c-a\*{\\frac c a}}是一次操作。 \[acbd\]⇒\[ac−a∗acbd−b∗ac\],c−a∗ac是一次操作。 那么100x100的矩阵，获得第一个主元的估算操作数为 10 0 2 100\^2 1002；获得第二个主元的估算操作数为 9 9 2 99\^2 992；获得第三个主元的估算操作数是 9 8 2 98\^2 982... 求和为 1 2 + 2 2 + . . . + n 2 ≈ 1 3 n 3 1\^2+2\^2+...+n\^2\\approx{\\frac 1 3}n\^3 12+22+...+n2≈31n3