在深度学习（DL）中经常会用到卷积神经网络，在这篇文章中，就将介绍卷积神经网络，具体包括其概念、卷积的含义、整个神经网络运作的过程以及卷积神经网络中的误差反向传播。
一、概念
卷积神经网络（Convolutional Neural Networks, CNNs）是一种专门设计用于处理具有类似网格结构的数据的深度学习模型，如图像数据（二维网格）、时间序列数据（一维网格），甚至视频数据（三维网格）。CNN在许多计算机视觉任务中取得了巨大的成功，包括图像分类、目标检测、人脸识别等。
一般来说，卷积神经网络包括四大层，分别为：输入层、卷积层、池化层以及输出层。
二、卷积
首先，我们知道卷积是一种两个函数间的相互作用，在图像处理、计算机视觉以及深度学习的背景下，卷积主要用于提取输入数据（如图像）的特征。
具体来说，就是对于一张图片，我们有一个模板，这个模板的长宽是要小于图片的长宽的，然后我们将这个模板不停覆盖住图像的一部分，然后对于覆盖住的地方进行相应计算，然后计算完成后，移动模板，最终使整个图像都被模板覆盖过。
比如有如下的一张图像，它是6*6的大小：
那么，我们设置一个模板，其大小为3*3，并进行如下的覆盖：
......
在上述不停用模板覆盖的过程中，我们还需要用对应方块内的值，即像素值，与模板（也称卷积核）下每个方块的大小进行点积计算，这样就会得到一个5*5的新矩阵，这称为特征图或激活图。
三、卷积神经网络整个过程
2.1 整体流程
那么，我们将上述的卷积过程放到整个的神经网络中，完整的流程是这样的：
先将图像存储为矩阵的形式，然后对于矩阵进行上述卷积操作，然后将所得的新矩阵利用激活函数进行计算，且是对于新矩阵中每一个元素，接着得到了第三个矩阵，对于这个矩阵进行池化操作，即分割成若干个互不相交的若干小块，每个小块内选取最大值去组成另一个矩阵（这是最大池化方式），这样就得到了池化层，接着将之转为一维向量，然后全连接得到全连接层，最后数据进入输出层，并根据最终输出的目的去设计输出层的具体任务：
对于分类任务，通常使用Softmax激活函数来生成每个类别的概率分布。Softmax确保所有输出的概率之和为1，适合多类别分类问题。
对于二分类任务，有时会使用Sigmoid激活函数，它能给出0到1之间的单个值，表示属于某一类的概率。
对于回归任务，可能不使用任何激活函数或使用线性激活函数，直接输出预测值。
在完成上述所有任务后，计算损失函数，以评估预测结果的好坏，再使用反向传播算法和梯度下降等优化算法调整网络权重，以最小化损失函数并提高模型性能。
将上述操作转为流程图就是：
2.2 池化操作
其中，关于池化操作，常见的方法有：
最大池化：选择窗口内的最大值作为输出。
平均池化：求取窗口下所有数据的均值作为输出。
随机池化：选择窗口下的随机一个值作为输出。
L2池化：计算窗口下的L2范数作为输出，即有一个矩阵A，其大小为n*n，则计算公式为：
2.3 激活函数
常见的激活函数有四种，分别如下：
- Sigmoid函数 ：
2.Tanh函数 ：
- ReLU函数 ：
4.Leaky ReLU函数 ： 其中，α是一个很小的正常数。
- Softmax函数：通常用于多分类问题中，将输入转换为概率分布。对于一个K维向量z，其第i个元素定义为：
四、误差反向传播
首先，我们对于卷积层中的加权输入作出这样的计算公式：
然后假设激活函数为：a()，那么就得到：
在池化层中，我们同样采用最大池化方法，那么就得到加权输出为：
在公式中，k和l分别表示所覆盖窗口的坐标，可以理解为x轴和y轴。
因为没有激活函数，所以为：
在输出层，有：
此外，还可通过标签计算出平方误差为：
其中的表示第i个标签。
在此基础上，我们定义一个变量用来表示第l层第j个神经单元的误差：
那么在卷积层和输出层的神经单元误差分别为：
关于输出层的神经单元误差，通过链式法则，还可以表示为：
然后，我们知道可以通过链式法则用输出层的加权输入对C求偏导得到，所以实现的反向传播，所以，在最后得到了公式：
五、代码实践
在这篇文章中，我先用 tensorflow 来进行预测，在下篇文章中则自行实现简单的CNN，tensorflow 代码如下：
python
import numpy as np
from tensorflow.keras.datasets import mnist
from tensorflow.keras.models import Sequential
from tensorflow.keras.layers import Dense, Dropout, Flatten
from tensorflow.keras.layers import Conv2D, MaxPooling2D
from tensorflow.keras.utils import to_categorical
(X_train, y_train), (X_test, y_test) = mnist.load_data()
X_train = X_train.reshape(X_train.shape[0], 28, 28, 1).astype('float32')
X_test = X_test.reshape(X_test.shape[0], 28, 28, 1).astype('float32')
X_train /= 255
X_test /= 255
Y_train = to_categorical(y_train, 10)
Y_test = to_categorical(y_test, 10)
model = Sequential()
model.add(Conv2D(32, kernel_size=(5, 5), activation='relu', input_shape=(28, 28, 1)))
model.add(MaxPooling2D(pool_size=(2, 2)))
model.add(Conv2D(64, (3, 3), activation='relu'))
model.add(MaxPooling2D(pool_size=(2, 2)))
model.add(Dropout(0.25))
model.add(Flatten())
model.add(Dense(128, activation='relu'))
model.add(Dropout(0.5))
model.add(Dense(10, activation='softmax'))
model.compile(loss='categorical_crossentropy', optimizer='adam', metrics=['accuracy'])
model.fit(X_train, Y_train, batch_size=128, epochs=10, verbose=1, validation_data=(X_test, Y_test))
score = model.evaluate(X_test, Y_test, verbose=0)
print('Test loss:', score[0])
print('Test accuracy:', score[1])其输出为：
python
Epoch 1/10
469/469 [==============================] - 10s 20ms/step - loss: 0.2914 - accuracy: 0.9078 - val_loss: 0.0548 - val_accuracy: 0.9820
Epoch 2/10
469/469 [==============================] - 10s 21ms/step - loss: 0.0959 - accuracy: 0.9708 - val_loss: 0.0380 - val_accuracy: 0.9870
Epoch 3/10
469/469 [==============================] - 10s 22ms/step - loss: 0.0716 - accuracy: 0.9787 - val_loss: 0.0320 - val_accuracy: 0.9896
Epoch 4/10
469/469 [==============================] - 10s 22ms/step - loss: 0.0599 - accuracy: 0.9826 - val_loss: 0.0290 - val_accuracy: 0.9904
Epoch 5/10
469/469 [==============================] - 10s 22ms/step - loss: 0.0521 - accuracy: 0.9843 - val_loss: 0.0249 - val_accuracy: 0.9921
Epoch 6/10
469/469 [==============================] - 10s 22ms/step - loss: 0.0453 - accuracy: 0.9860 - val_loss: 0.0243 - val_accuracy: 0.9924
Epoch 7/10
469/469 [==============================] - 12s 25ms/step - loss: 0.0413 - accuracy: 0.9873 - val_loss: 0.0212 - val_accuracy: 0.9927
Epoch 8/10
469/469 [==============================] - 15s 32ms/step - loss: 0.0356 - accuracy: 0.9889 - val_loss: 0.0237 - val_accuracy: 0.9925
Epoch 9/10
469/469 [==============================] - 17s 36ms/step - loss: 0.0344 - accuracy: 0.9891 - val_loss: 0.0204 - val_accuracy: 0.9935
Epoch 10/10
469/469 [==============================] - 11s 23ms/step - loss: 0.0314 - accuracy: 0.9906 - val_loss: 0.0239 - val_accuracy: 0.9933
Test loss: 0.023907233029603958
Test accuracy: 0.9933000206947327此上