大话数据结构第二章，算法笔记

大话数据结构第二章，算法笔记

算法： 算法是解决特定问题求解步骤的描述，在计算机中表现为指令的有限序列，并且每条指令表示一个或多个操作

2.1 开场白

2.2 数据结构与算法关系

课程叫数据结构，但很多时候我们会讲到算法，以及它们之间的关系。

在《数据结构》课程中，就算谈到算法，也是为 了帮助理解好数据结构，并不会详细谈及算法的方方面面。我们的课 程也是按这样的原则来展开的。

2.3 两种算法的比较

要求你写一个求1+2+3+......+100 结果的程序，你应该怎么写呢？

高斯提出的解法

用程序来实现如下：

2.4 算法定义

算法是描述解决问题的方法。

算法定义中，提到了指令，指令能被人或机器等计算装置执行。它可以是计算机指令，也可以是我们平时的语言文字。

为了解决某个或某类问题，需要把指令表示成一定的操作序列，操作序列包括一组操作，每一个操作都完成特定的功能，这就是算法了。

2.5 算法的特性

算法具有五个基本特性：输入、输出、有穷性、确定性和可行性。

2.5.1 输入输出

输入和输出特性比较容易理解，算法具有零个或多个输入。尽管对于绝大多数算法来说，输入参数都是必要的。

但对于个别情况，如打印 "helloworld！"这样的代码，不需要任何输入参数，因此算法的输入可以是零个。算法至少有一个或多个输出，算法是一定需要输出的，不需要输出，你用这个算法干吗？输出的形式可以是打印输出， 也可以是返回一个或多个值等。

2.5.2 有穷性

有穷性：指算法在执行有限的步骤之后，自动结束而不会出现无限循环，并且每一个步骤在可接受的时间内完成。现实中经常会写出死循环的代码，这就是不满足有穷性。当然这里有穷的概念并不是纯数学意义的，而是在实际应用当中合理的、可以接受的"有边界"。你写一个算法，计算机需要算上个二十年，一定会结束，它在数学意义上是有穷了，可是媳妇都熬成婆了，算法的意义也不就大了。

2.5.3 确定性

确定性：算法的每一步骤都具有确定的含义，不会出现二义性。算法在一定条件下，只有一条执行路径，相同的输入只能有唯一的输出结 果。算法的每个步骤被精确定义而无歧义。

2.5.4 可行性

可行性：算法的每一步都必须是可行的，也就是说，每一步都能够通过执行有限次数完成。可行性意味着算法可以转换为程序上机运行， 并得到正确的结果。尽管在目前计算机界也存在那种没有实现的极为复杂的算法，不是说理论上不能实现，而是因为过于复杂，我们当前的编程方法、工具和大脑限制了这个工作，不过这都是理论研究领域的问题，不属于我们现在要考虑的范围。

2.6 算法设计的要求

算法不是唯一的。也就是说，同一个问题，可以有 多种解决问题的算法。

尽管算法不唯一，相对好的算法还是存在的。

好的算法，应该具有正确性、可读性、健壮性、高效率和低存储量的特征。

2.6.1 正确性

正确性：算法的正确性是指算法至少应该具有输入、输出和加工处理无歧义性、能正确反映问题的需求、能够得到问题的正确答案。

但是算法的"正确"通常在用法上有很大的差别，大体分为以下四个层次。

1.算法程序没有语法错误。

2.算法程序对于合法的输入数据能够产生满足要求的输出结果。

3.算法程序对于非法的输入数据能够得出满足规格说明的结果。

4.算法程序对于精心选择的，甚至刁难的测试数据都有满足要求的输出结果。

对于这四层含义，层次1要求最低，但是仅仅没有语法错误实在谈不上是好算法。这就如同仅仅解决温饱，不能算是生活幸福一样。而层次4是最困难的，我们几乎不可能逐一验证所有的输入都得到正确的结果。

因此算法的正确性在大部分情况下都不可能用程序来证明，而是用数学方法证明的。证明一个复杂算法在所有层次上都是正确的，代价非常昂贵。所以一般情况下，我们把层次3作为一个算法是否正确的标准。 好算法还有算法容易理解的特征。

2.6.2 可读性

可读性：算法设计的另一目的是为了便于阅读、理解和交流。 可读性高有助于人们理解算法，晦涩难懂的算法往往隐含错误，不易 被发现，并且难于调试和修改。

2.6.3 健壮性

一个好的算法还应该能对输入数据不合法的情况做合适的处理。比如输入的时间或者距离不应该是负数等。 健壮性：当输入数据不合法时，算法也能做出相关处理，而不是产生异常或莫名其妙的结果。

2.6.4 时间效率高和存储量低

好的算法还应该具备时间效率高和存储量低的特点。

时间效率指的是算法的执行时间，对于同一个问题，如果有多个算法能够解决，执行时间短的算法效率高，执行时间长的效率低。

存储量需求指的是算法在执行过程中需要的最大存储空间，主要指算法程序运行时所占用的内存或外部硬盘存储空间。

2.7 算法效率的度量方法

我们通过对算法的数据测试，利用计算机的计时功能，来计算不同算法的效率是高还是低。

2.7.1 事后统计方法

事后统计方法：这种方法主要是通过设计好的测试程序和数据，利用计算机计时器对不同算法编制的程序的运行时间进行比较，从而确定算法效率的高低。

缺陷：

• 必须依据算法事先编制好程序，这通常需要花费大量的时间和精力。如果编制出来发现它根本是很糟糕的算法，不是竹篮打水一场空吗？

• 时间的比较依赖计算机硬件和软件等环境因素，有时会掩盖算法本身的优劣。要知道，现在的一台四核处理器的计算机，跟当年 286、386、486等老爷爷辈的机器相比，在处理算法的运算速度上，是不能相提并论的；而所用的操作系统、编译器、运行框架等软件的不同，也可以影响它们的结果；就算是同一台机器，CPU 使用率和内存占用情况不一样，也会造成细微的差异。

• 算法的测试数据设计困难，并且程序的运行时间往往还与测试数据的规模有很大关系，效率高的算法在小的测试数据面前往往得 不到体现。比如10个数字的排序，不管用什么算法，差异几乎是零。而如果有一百万个随机数字排序，那不同算法的差异就非常 大了。那么我们为了比较算法，到底用多少数据来测试，这是很难判断的问题。

基于事后统计方法有这样那样的缺陷，我们考虑不予采纳。

2.7.2 事前分析估算方法

我们的计算机前辈们，为了对算法的评判更科学，研究出了一种叫做事前分析估算的方法。

事前分析估算方法：在计算机程序编制前，依据统计方法对算法进行估算。

经过分析，我们发现，一个用高级程序语言编写的程序在计算机上运行时所消耗的时间取决于下列因素：

算法采用的策略、方法

编译产生的代码质量

问题的输入规模

机器执行指令的速度

两种求和的算法：

第一种算法：

第二种算法：

第一种算法，执行了1+(n+1)+n+1次=2n+3次；

而第二种算法， 是1+1+1=3次。

事实上两个算法的第一条和最后一条语句是一样的，所以我们关注的代码其实是中间的那部分，我们把循环看作一个整体， 忽略头尾循环判断的开销，那么这两个算法其实就是n次与1次的差距。算法好坏显而易见。

再来延伸一下上面这个例子：

1：运行n的平方次

2：运行次数始终为1

随着n值的越来越大，它们在时间效率上的差异也就越来越大。

2.8 函数的渐近增长

来判断一下，以下两个算法A和B哪个更好

假设两个算法的输入规模都是n，算法A要做2n+3次操作，你可以理解为先有一个n次的 循环，执行完成后，再有一个n次循环，最后有三次赋值或运算，共 2n+3次操作。算法B要做3n+1次操作。你觉得它们谁更快呢？ 准确说来，答案是不一定的。

当n=1时，算法A效率不如算法B（次数比算法B要多一次）。而当n=2 时，两者效率相同；当n>2时，算法A就开始优于算法B了，随着n的增加，算法A比算法B越来越好了（执行的次数比B要少）。

函数的渐近增长：给定两个函数f(n)和g(n)，如果存在一个整数N，使得对于所有的n>N，f(n)总是比g(n)大，那么，我们说f(n)的增长渐近快于g(n)。

随着n的增大，后面的+3还是+1其实是不影响最终的算法变化的，例如算法A′与算法B′，所以，我们可以忽略这些加法常数。后面的例子，这样的常数被忽略的意义可能会更加明显。

第二个例子，算法C，算法D

当n≤3的时候，算法C要差于算法D（因为算法C次数比较多），但当 n>3后，算法C的优势就越来越优于算法D了，到后来更是远远胜过。而 当后面的常数去掉后，我们发现其实结果没有发生改变。

甚至我们再观察发现，哪怕去掉与n相乘的常数，这样的结果也没发生改变，算法 C′的次数随着n的增长，还是远小于算法D′。也就是说，与最高次项相乘的常数并不重要。

第三个例子。算法E，算法F

当n=1的时候，算法E与算法F结果相同，但当n>1后，算法E的优势就要开始优于算法F，随着n的增大，差异非常明显。通过观察发现，最高次项的指数大的，函数随着n的增长，结果也会变得增长特别快。

最后一个例子。算法G，算法H，算法I

当n的值越来越大时，你会发现，h已 经没法和i的结果相比较，最终几乎可以忽略不计。也就是说，随着n值变得非常大以后，算法G其实已经很趋近于算法I。

结论

判断一个算法的效率时，函数中的常数和其他次要项常常可以忽略，而更应该关注主项（最高阶项）的阶数。

如果我们可以对比这几个算法的关键执行次数函数的渐近增长性，基本就可以分析出：某个算法， 随着n的增大，它会越来越优于另一算法，或者越来越差于另一算法。 这其实就是事前估算方法的理论依据，通过算法时间复杂度来估算算法时间效率。

2.9 算法时间复杂度

2.9.1 算法时间复杂度定义

在进行算法分析时，语句总的执行次数T(n)是关于问题规模n的函数， 进而分析T(n)随n的变化情况并确定T(n)的数量级。算法的时间复杂度，也就是算法的时间量度，记作：T(n)=O(f(n))。

表示随问题规模n的增大，算法执行时间的增长率和f(n)的增长率相同，称作算法的渐近时间复杂度，简称为时间复杂度。其中f(n)是问题规模n的某个函数。

这样用大写O( )来体现算法时间复杂度的记法，我们称之为大O记法。

由此算法时间复杂度的定义可知，我们的三个求和算法的时 复杂度分别为O(n)，O(1)，O(n 2 )。我们分别给它们取了非官方的名称，O(1)叫常数阶、O(n)叫线性阶、O(n 2 )叫平方阶，当然，还有其他的一些阶

2.9.2 推导大O阶方法

那么如何分析一个算法的时间复杂度呢？即如何推导大O阶呢？我们给出了下面的推导方法，基本上，这也就是总结前面我们举的例子。

推导大O阶：

1．用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

2．在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

3．如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。 得到的结果就是大O阶。

2.9.3 常数阶

首先顺序结构的时间复杂度。下面这个算法，也就是刚才的第二种算 法（高斯算法），为什么时间复杂度不是O(3)，而是O(1)。

这个算法的运行次数函数是f(n)=3。根据我们推导大O阶的方法，第一 步就是把常数项3改为1。在保留最高阶项时发现，它根本没有最高阶项，所以这个算法的时间复杂度为O(1)。

我们试想一下，如果这个算法当中的语句sum=(1+n)*n/2有10 句，即：

事实上无论n为多少，上面的两段代码就是3次和12次执行的差异。这种与问题的大小无关（n的多少），执行时间恒定的算法，我们称之为具有O(1)的时间复杂度，又叫常数阶。

注意：不管这个常数是多少，我们都记作O(1)，而不能是O(3)、O(12) 等其他任何数字，这是初学者常常犯的错误。 对于分支结构而言，无论是真，还是假，执行的次数都是恒定的，不会随着n的变大而发生变化，所以单纯的分支结构（不包含在循环结构中），其时间复杂度也是O(1)。

2.9.4 线性阶

线性阶的循环结构会复杂很多。要确定某个算法的阶次，我们常常需 要确定某个特定语句或某个语句集运行的次数。因此，我们要分析算 法的复杂度，关键就是要分析循环结构的运行情况。

下面这段代码，它的循环的时间复杂度为O(n)，因为循环体中的代码须要执行n次。

2.9.5 对数阶

下面的这段代码，时间复杂度又是多少呢？

每次count乘以2之后，就距离n更近了一分。也就是说，有多少个2相乘后大于n，则会退出循环。

所以这个循环的时间复杂度为O(logn)。

2.9.6 平方阶

下面例子是一个循环嵌套，它的内循环刚才我们已经分析过，时间复杂度为O(n)。

对于外层的循环，不过是内部这个时间复杂度为O(n)的语句，再循环n次。所以这段代码的时间复杂度为O(n 2 )。

如果外循环的循环次数改为了m，时间复杂度就变为O(m×n)。

可以总结得出，循环的时间复杂度等于循环体的复杂度乘以该循环运行的次数。

下面这个循环嵌套，它的时间复杂度是多少呢？

由于当i=0时，内循环执行了n次，当i=1时，执行了n-1次，......当 i=n-1时，执行了1次。所以总的执行次数为：

用我们推导大O阶的方法，

第一条，没有加法常数不予考虑；

第二条， 只保留最高阶项，因此保留n 2 /2；

第三条，去除这个项相乘的常数， 也就是去除1/2，最终这段代码的时间复杂度为O(n 2 )

对于方法调用的时间复杂度又如何分析

上面这段代码调用一个函数function。

函数体是打印这个参数。其实这很好理解，function函数的时间复杂 度是O(1)。所以整体的时间复杂度为O(n)。

假如function是下面这样：

事实上，这和刚才举的例子是一样的，只不过把嵌套内循环放到了函数中，所以最终的时间复杂度为O(n 2 )。

下面这段相对复杂的语句：

2.10 常见的时间复杂度

2.11 最坏情况与平均情况

算法的分析也是类似，我们查找一个有n个随机数字数组中的某个数字，最好的情况是第一个数字就是，那么算法的时间复杂度为O(1)， 但也有可能这个数字就在最后一个位置上待着，那么算法的时间复杂度就是O(n)，这是最坏的一种情况了。

通常，除非特别指定，我们提到的运行时间都是最坏情况的运行时间。

平均运行时间也就是从概率的角度看，这个数字在每一个位置的可能性是相同的，所以平均的查找时间为n/2次后发现这个目标元素。

2.12 算法空间复杂度

我们在写代码时，完全可以用空间来换取时间。

比如要判断某某年是不是闰年，你可能会花一点心思写了一个算法，而且由于是一个算法，也就意味着，每次给一个年份，都是要通过计算得到是否是闰 年的结果。还有另一个办法就是，事先建立一个有2050个元素的数组 （年数略比现实多一点），然后把所有的年份按下标的数字对应，如果是闰年，此数组项的值就是1，如果不是值为0。这样，所谓的判断某一年是否是闰年，就变成了查找这个数组的某一项的值是多少的问 题。此时，我们的运算是最小化了，但是硬盘上或者内存中需要存储这2050个0和1。

算法的空间复杂度通过计算算法所需的存储空间实现，

算法空间复杂度的计算公式记作：S(n)=O(f(n))，

其中，n为问题的规模，f(n)为语句关于n所占存储空间的函数。

一般情况下，一个程序在机器上执行时，除了需要存储程序本身的指令、常数、变量和输入数据外，还需要存储对数据操作的存储单元。若输入数据所占空间只取决于问题本身，和算法无关，这样只需要分析该算法在实现时所需的辅助单元即可。若算法执行时所需的辅助空 间相对于输入数据量而言是个常数，则称此算法为原地工作，空间复杂度为O(1)。

通常，我们都使用"时间复杂度"来指运行时间的需求，使用"空间复杂度"指空间需求。当不用限定词地使用"复杂度"时，通常都是 指时间复杂度。

2.13 总结回顾

算法的定义：算法是解决特定问题求解步骤的描述，在计算机中为指令的有限序列，并且每条指令表示一个或多个操作。

算法的特性：有穷性、确定性、可行性、输入、输出。 算法的设计的要求：正确性、可读性、健壮性、高效率和低存储量需求。

算法特性与算法设计容易混，需要对比记忆。 算法的度量方法：事后统计方法（不科学、不准确）、事前分析估算方法。 在讲解如何用事前分析估算方法之前，我们先给出了函数渐近增长的 定义。

函数的渐近增长：给定两个函数f(n)和g(n)，如果存在一个整数N，使 得对于所有的n>N，f(n)总是比g(n)大，那么，我们说f(n)的增长渐近 快于g(n)。于是我们可以得出一个结论，判断一个算法好不好，我们只通过少量的数据是不能做出准确判断的，如果我们可以对比算法的关键执行次数函数的渐近增长性，基本就可以分析出：某个算法，随着n的变大，它会越来越优于另一算法，或者越来越差于另一算法。 然后给出了算法时间复杂度的定义和推导大O阶的步骤。

推导大O阶：

1. 用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

2. 在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

3. 如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项相乘的常数。

得到的结果就是大O阶。

通过这个步骤，我们可以在得到算法的运行次数表达式后，很快得到它的时间复杂度，即大O阶。同时我也提醒了大家，其实推导大O阶很容易，但如何得到运行次数的表达式却是需要数学功底的。 接着我们给出了常见的时间复杂度所耗时间的大小排列：

最后，我们给出了关于算法最坏情况和平均情况的概念，以及空间复杂度的概念。