在蓝桥杯中遇到的这道题，看上去比较普通，但其实蕴含了很巧妙的"状态压缩 + 背包"的思想，本文将从零到一，详细解析这个问题。
目录
[二、思路分析：状态压缩 + 最小覆盖](#二、思路分析：状态压缩 + 最小覆盖)
[1. 本质：最小集合覆盖问题](#1. 本质：最小集合覆盖问题)
[2. 状态设计：压缩子集状态](#2. 状态设计：压缩子集状态)
[3. 状态转移逻辑](#3. 状态转移逻辑)
[4. 为什么不用回溯解决？](#4. 为什么不用回溯解决？)
[1. 应用场景](#1. 应用场景)
[2. 状压DP的核心构建思维](#2. 状压DP的核心构建思维)
[3. 状态遍历技巧](#3. 状态遍历技巧)
一、题目
【翻译过来就是】：
店里有 M 种不同口味的糖果。老板不单卖糖果，而是将 K 颗糖果打包成一包，并且每包糖果的口味可以预知。小明希望通过购买若干包糖果，品尝到所有 M 种口味
我们的目标是：求出小明最少要买多少包糖果，才能尝到所有口味？
若无论如何都无法凑齐所有口味，输出 -1
二、思路分析：状态压缩 + 最小覆盖
1. 本质：最小集合覆盖问题
这道题本质上是一个最小集合覆盖问题：
给定
M个元素的全集，每个集合（糖果包）覆盖部分元素，求用最少的集合数量，使得它们的并集恰好覆盖全集。
这类问题是组合优化中非常典型的 NP 完全问题，而这道题因为数据规模小（M ≤ 20），我们可以用状态压缩优化搜索空间
2. 状态设计：压缩子集状态
考虑全集是口味 {1, 2, ..., M}，那么每种"已经吃到的口味组合"可以表示为一个二进制串，长度为 M：
-
第
i位为1表示第i种口味已吃； -
第
i位为0表示第i种口味未吃； -
例如
01101表示尝到了第 0、2、3 种口味。
于是我们就可以设计出如下的状态压缩动态规划：
-
状态定义 ：
dp[s]表示要想吃到状态s表示的口味集合，最少要买多少包糖果； -
状态个数 ：全集口味数为
M，所以一共有2^M个状态； -
初始状态 ：
dp[0] = 0表示什么都没吃； -
最终目标 ：我们要找出
dp[full]，其中 full=(1<<M)-1，即全1，代表吃全所有口味
3. 状态转移逻辑
我们遍历每一包糖果（相当于"可以选的物品"），如果当前状态是 j，那么加入这一包糖果之后，会变成新状态 j|a[i]
转移公式如下：
dp[j|a[i]] = min(dp[j|a[i]], dp[j]+ 1)
意思是："如果我当前吃到的是状态j，现在加上这包糖果 a[i]，我就能达到一个新的状态j |a[i]，那到达新状态的最小糖果包数，可能是之前状态的基础上+1
为了避免状态转移时污染原始状态（避免用新的 dp[j|a[i]]去影响其它转移），我们从大到小遍历状态 j
4. 为什么不用回溯解决？
很多读者第一时间可能想到回溯 + 剪枝，但那样复杂度是指数级的
这题可以用动态规划，是因为：
-
状态可以表示为一个整数 ，并且状态间的转移有明显结构；
-
每一步的选择（糖果包）都可以使得状态"合并"；
-
我们可以用子问题的最优解构造出大问题的最优解，符合DP的子结构性质。
三、状压DP通用压缩和转移技巧
状态压缩 DP是竞赛算法中经常考的一种技巧，尤其当状态具有"组合"性质时非常常见
1. 应用场景
-
集合覆盖类问题（如本题）
-
旅行商问题（TSP）
-
开关灯问题 / 翻牌问题
-
博弈论中已访问节点记录
-
图上路径问题中"走过哪些点"状态的保存
2. 状压DP的核心构建思维
-
状态压缩：
-
使用一个整数的二进制表示"某种集合"
-
长度为 M 的集合有 2^M 个子集，对应
0~2^M - 1这2^M个整数
-
-
状态定义：
-
每一个状态代表一种"中间形态"，可以是路径、集合、排列的某种子结构
-
dp[mask]表示从起点出发，达到状态mask所需要的最小代价/方案数等
-
-
状态转移：
-
通常通过**dp[old_mask]->dp[new_mask]**来实现
-
new_mask=old_mask|(1<<x)表示在old_mask的基础上加入一个新元素 -
利用位运算快速合并和判断状态（如：是否包含、是否重叠等）
-
3. 状态遍历技巧
接下来给大家附上一下状态压缩常用的小技巧
| 遍历目标 | 写法 |
|---|---|
| 遍历所有状态 | for (int mask = 0; mask < (1 << M); mask++) |
遍历 mask 的所有子集 |
for (int sub = mask; sub; sub = (sub - 1) & mask) |
检查 mask 是否包含第 i 项 |
if (mask & (1 << i)) |
加入元素 i |
mask | (1 << i) |
删除元素 i |
mask & ~(1 << i) |
四、代码
cpp
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <climits>
using namespace std;
long long dp[(1<<20)+1];//左移20位
int n,m,k;
int a[110];//第i包所有的种类
int main()
{
fill(dp,dp+(1<<20)+1,INT_MAX);//初始化为最大值
cin>>n>>m>>k;//n包糖果，m种口味，每包k种
int c[25];//占位数组，是否能全部尝到
fill(c,c+m,0);
bool no=false;//是否能全部尝到
//读入n包糖果
for(int i=1;i<=n;i++)
{
int x=0,y;
for(int j=1;j<=k;j++)
{
cin>>y;
//转换为二进制
//(1后面有y-1个0，相当于第y位是1）
y--;
x|=(1<<y);
//先检验糖果是否全
//索引向后移一位
c[y]++;
}
a[i]=x;
}
//首先检验糖果种类是否齐全
for(int i=0;i<m;i++)
{
if(!c[i]) no=true;
}
if(no) cout<<"-1";
else
{
//背包问题，装i包糖果使每一种口味都能尝到
dp[0]=0;
//遍历每一包
for(int i=1;i<=n;i++)
{
//状态从大到小
//背包问题，滚动数组背包容量从大到小
for(int j=(1<<m)-1;j>=0;j--)
{
//是否选第i包
dp[j|a[i]]=min(dp[j|a[i]],dp[j]+1);
}
}
//0-m-1位都为1
cout<<dp[(1<<m)-1];
}
return 0;
} 五、关键点总结
| 技巧 | 说明 |
|---|---|
| 状态压缩 | 将口味组合转换为一个整数表示 |
| 背包状态转移 | dp[new_state] = min(dp[new_state], dp[old_state] + 1) |
| 滚动数组优化 | 状态转移从大到小，避免重复选择 |
| 初始化技巧 | INT_MAX 代表当前状态不可达，一定要用 long long 存储，否则可能溢出 |
这个问题很好的考察了对"状态压缩 + 背包模型"的掌握，也是一道蓝桥杯常考的"最小覆盖子集"变形题，可以作为一道练手题
如果你觉得本文对你有帮助，欢迎点赞收藏！