蓝桥杯 6. k倍区间

k倍区间

原题目链接

题目描述

给定一个长度为 N 的数列 A₁, A₂, ⋯, Aₙ,如果其中一段连续的子序列 Aᵢ, Aᵢ₊₁, ⋯, Aⱼ (i ≤ j) 之和是 K 的倍数,我们就称这个区间 [i, j]K 倍区间

请你求出数列中总共有多少个 K 倍区间


输入描述

  • 第一行包含两个整数 NK (1 ≤ N, K ≤ 10⁵)。
  • 接下来 N 行,每行一个整数 Aᵢ (1 ≤ Aᵢ ≤ 10⁵),表示数列的每个元素。

输出描述

输出一个整数,表示 K 倍区间的数量。


输入样例

in 复制代码
5 2
1
2
3
4
5

输出样例

out 复制代码
6

c++代码

cpp 复制代码
#include<bits/stdc++.h>
#include<stdio.h>

using namespace std;

typedef long long ll;
ll N, K, ans = 0;
unordered_map<int, int> mp;
vector<ll> arr;

int main() {
    scanf("%lld %lld", &N, &K);
    arr = vector<ll>(N + 1, 0);
    for (ll i = 1; i <= N; i++) {
        scanf("%lld", &arr[i]);
        arr[i] += arr[i - 1];
    }
    if (K == 1) {
        printf("%lld", (N * (N - 1)) / 2 + N);
        return 0;
    }
    for (int i = 0; i <= N; i++) mp[arr[i] % K]++;
    for (auto it = mp.begin(); it != mp.end(); it++) ans += ((it->second * (it->second - 1)) / 2);
    printf("%lld", ans);
    return 0;
}//by wqs

算法解析

首先前缀和想得到吧

cpp 复制代码
for (ll i = 1; i <= N; i++) {
    scanf("%lld", &arr[i]);
    arr[i] += arr[i - 1];
}

现在有了前缀和数组

我们要找两个端点i, j,使得

cpp 复制代码
(arr[j] - arr[i]) % k == 0
假设arr[j] % k = c, arr[i] % k = d,
根据取模公式(arr[j] - arr[i]) % k = c - d。
也就是我们要让c - d = 0,也就是c == d。
现在我们的任务转换为求有多少组i,j满足arr[i] % k == arr[j] % k。
cpp 复制代码
for (int i = 0; i <= N; i++) mp[arr[i] % K]++;
for (auto it = mp.begin(); it != mp.end(); it++) ans += ((it->second * (it->second - 1)) / 2);//排列组合
printf("%lld", ans);
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