【概率论】条件期望

在高等概率论中，给定一个概率空间 ( Ω , F , P ) (\Omega, \mathcal{F}, P) (Ω,F,P) 和其子 σ \sigma σ-代数 G ⊆ F \mathcal{G} \subseteq \mathcal{F} G⊆F，随机变量 X X X 关于 G \mathcal{G} G 的 条件期望 E X ∣ G EX\|\\mathcal{G} EX∣G 是一个满足以下两个条件的随机变量：

1. G \mathcal{G} G-可测性 ： E X ∣ G \mathbb{E}X\|\\mathcal{G} EX∣G 是 G \mathcal{G} G-可测的函数。
2. 积分等式 ：对任意 A ∈ G A \in \mathcal{G} A∈G，有
   ∫ A E X ∣ G   d P = ∫ A X   d P . \int_A \mathbb{E}X\|\\mathcal{G} \, dP = \int_A X \, dP. ∫AEX∣GdP=∫AXdP.

关键点解析：

• 存在性与唯一性 ：由Radon-Nikodym定理保证， E X ∣ G \mathbb{E}X\|\\mathcal{G} EX∣G 在几乎必然意义下唯一存在。

• 直观意义 ： E X ∣ G \mathbb{E}X\|\\mathcal{G} EX∣G 是在已知 G \mathcal{G} G 所包含的信息（即 G \mathcal{G} G-可测事件）时，对 X X X 的"最佳预测"。

• 特例 ：若 G = σ ( Y ) \mathcal{G} = \sigma(Y) G=σ(Y) 由另一个随机变量生成，则 E X ∣ G \mathbb{E}X\|\\mathcal{G} EX∣G 可记为 E X ∣ Y \mathbb{E}X\|Y EX∣Y，表示给定 Y Y Y 时 X X X 的期望。

与其他定义的关联：

• 若 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 有联合密度 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)，则 E X ∣ Y = y = ∫ x f ( x ∣ y ) d x = ∫ x f ( x , y ) d x ∫ f ( x , y ) d x \mathbb{E}X\|Y=y = \int x f(x|y) dx=\frac{\int x f(x,y) dx}{\int f(x,y) dx} EX∣Y=y=∫xf(x∣y)dx=∫f(x,y)dx∫xf(x,y)dx，其中 f ( x ∣ y ) f(x|y) f(x∣y) 为条件密度。测度论定义将此推广到更一般的场景，因此条件期望 E X ∣ Y = y \mathbb{E}X\|Y=y EX∣Y=y 是关于 y y y 的函数。

性质：

条件期望具有线性性、单调性、塔性质（迭代期望）等，例如：

• 线性性 ： E a X + b Y ∣ G = a E X ∣ G + b E Y ∣ G \mathbb{E}aX + bY \| \\mathcal{G} = a\mathbb{E}X\|\\mathcal{G} + b\mathbb{E}Y\|\\mathcal{G} EaX+bY∣G=aEX∣G+bEY∣G。

• 塔性质 ：若 H ⊆ G \mathcal{H} \subseteq \mathcal{G} H⊆G，则 E E \[ X ∣ G ∣ H ] = E E \[ X ∣ H ∣ G ] = E X ∣ H \mathbb{E}\\mathbb{E}\[X\|\\mathcal{G}|\mathcal{H}] =\mathbb{E}\\mathbb{E}\[X\|\\mathcal{H}|\mathcal{G}] = \mathbb{E}X\|\\mathcal{H} EE\[X∣G∣H]=EE\[X∣H∣G]=EX∣H。

• 数学期望与条件期望 E E \[ X ∣ G ] = E X \mathbb{E}\\mathbb{E}\[X\|\\mathcal{G}] = \mathbb{E}X EE\[X∣G]=EX。