在高等概率论中，给定一个概率空间 ( Ω , F , P ) (\Omega, \mathcal{F}, P) (Ω,F,P) 和其子 σ \sigma σ-代数 G ⊆ F \mathcal{G} \subseteq \mathcal{F} G⊆F，随机变量 X X X 关于 G \mathcal{G} G 的 条件期望 E [ X ∣ G ] E[X|\mathcal{G}] E[X∣G] 是一个满足以下两个条件的随机变量：
- G \mathcal{G} G-可测性 ： E [ X ∣ G ] \mathbb{E}[X|\mathcal{G}] E[X∣G] 是 G \mathcal{G} G-可测的函数。
- 积分等式 ：对任意 A ∈ G A \in \mathcal{G} A∈G，有
∫ A E [ X ∣ G ] d P = ∫ A X d P . \int_A \mathbb{E}[X|\mathcal{G}] \, dP = \int_A X \, dP. ∫AE[X∣G]dP=∫AXdP.
关键点解析：
• 存在性与唯一性 ：由Radon-Nikodym定理保证， E [ X ∣ G ] \mathbb{E}[X|\mathcal{G}] E[X∣G] 在几乎必然意义下唯一存在。
• 直观意义 ： E [ X ∣ G ] \mathbb{E}[X|\mathcal{G}] E[X∣G] 是在已知 G \mathcal{G} G 所包含的信息（即 G \mathcal{G} G-可测事件）时，对 X X X 的"最佳预测"。
• 特例 ：若 G = σ ( Y ) \mathcal{G} = \sigma(Y) G=σ(Y) 由另一个随机变量生成，则 E [ X ∣ G ] \mathbb{E}[X|\mathcal{G}] E[X∣G] 可记为 E [ X ∣ Y ] \mathbb{E}[X|Y] E[X∣Y]，表示给定 Y Y Y 时 X X X 的期望。
与其他定义的关联：
• 若 ( X , Y ) (X,Y) (X,Y) 有联合密度 f ( x , y ) f(x,y) f(x,y)，则 E [ X ∣ Y = y ] = ∫ x f ( x ∣ y ) d x = ∫ x f ( x , y ) d x ∫ f ( x , y ) d x \mathbb{E}[X|Y=y] = \int x f(x|y) dx=\frac{\int x f(x,y) dx}{\int f(x,y) dx} E[X∣Y=y]=∫xf(x∣y)dx=∫f(x,y)dx∫xf(x,y)dx，其中 f ( x ∣ y ) f(x|y) f(x∣y) 为条件密度。测度论定义将此推广到更一般的场景，因此条件期望 E [ X ∣ Y = y ] \mathbb{E}[X|Y=y] E[X∣Y=y] 是关于 y y y 的函数。
性质：
条件期望具有线性性、单调性、塔性质（迭代期望）等，例如：
• 线性性 ： E [ a X + b Y ∣ G ] = a E [ X ∣ G ] + b E [ Y ∣ G ] \mathbb{E}[aX + bY | \mathcal{G}] = a\mathbb{E}[X|\mathcal{G}] + b\mathbb{E}[Y|\mathcal{G}] E[aX+bY∣G]=aE[X∣G]+bE[Y∣G]。
• 塔性质 ：若 H ⊆ G \mathcal{H} \subseteq \mathcal{G} H⊆G，则 E [ E [ X ∣ G ] ∣ H ] = E [ E [ X ∣ H ] ∣ G ] = E [ X ∣ H ] \mathbb{E}[\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]|\mathcal{H}] =\mathbb{E}[\mathbb{E}[X|\mathcal{H}]|\mathcal{G}] = \mathbb{E}[X|\mathcal{H}] E[E[X∣G]∣H]=E[E[X∣H]∣G]=E[X∣H]。
• 数学期望与条件期望 E [ E [ X ∣ G ] ] = E [ X ] \mathbb{E}[\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]] = \mathbb{E}[X] E[E[X∣G]]=E[X]。