位运算，状态压缩dp（算法竞赛进阶指南学习笔记）

移位运算

左移

把二进制下的数左移低位以0填充

1<<n=2ⁿ n<<1=2n

算数右移

把二进制下的数右移高位以符号位填充，低位舍弃

相当于除以二向下取整：(-3)>>1=-2，3>>1=2；

与/2不同的点在于/2时是向0取整 (-3)/2=-1；

优先级

+,- > <<,>> > <,>,==,!= > &(位与) > ^(异或) > |(位或)

不确定就加括号！

一些位运算的操作

以N=84，a=5，b=3为例；

换为二进制表示为N=0101 0100，a=0101，b=0011

~（按位非）：将二进制数的每一位都取反

~N=1010 1011 ~a=1010 ~b=1100

&（按位与）：比较两个二进制数的每一位；同时为1时记录为1

a&b=0001

((~N)+1)&N=0000 0100

|（按位或）：比较两个二进制数的每一位；只要有1就记录为1，同时为0才是0

a|b=0111

N|(~N)=1111 1111

^（异或）：比较两个二进制数的每一位；相同记为0，不同记为1

N^(~N)=1111 1111

a^b=0110

最短 Hamilton 路径（状态压缩dp模板，位运算）

题目原文

P10447 最短 Hamilton 路径 - 洛谷

一张 n 个点的带权无向图，求起点 0 至终点 n −1 的最短 Hamilton 路径（从 0∼n−1 不重复地经过每个点一次）。

思路分析

如果暴力去遍历的话时间复杂度是O(n*n!)显然会超时；所以这里就可以利用位运算；用二进制的每一位来代表是否选取过这个点；

这样枚举的次数就降到了2ⁿ；就可以通过这道题了；

初始时建立a数组存储点i和点j之间的距离；

再利用f数组进行状态转移的模拟；最后求得的f[(1<<n)-1][n-1]即为最小距离；

cpp 复制代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
#define endl '\n'
const int N=21;
int a[N][N];
int f[1<<N][N];
signed main(){
	int n;cin>>n;
	for(int i=0;i<n;i++)
	for(int j=0;j<n;j++)
	cin>>a[i][j];
	memset(f,0x3f,sizeof f);
	f[1][0]=0;
	for(int i=1;i<1<<n;i++){ // 枚举所有情况
		for(int j=0;j<n;j++){ // 遍历每个点
			if(i>>j&1) //可以到达
			for(int k=0;k<n;k++){ // 找下一步准备去的点
				if((i^(1<<j))>>k&1) //(i^(1<<j)是为了把j的哪一位先去掉，避免jk重复
				f[i][j]=min(f[i][j],f[i^(1<<j)][k]+a[j][k]);
			}
		}
	}
	cout<<f[(1<<n)-1][n-1];
}

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一些位运算的操作

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