1. 欧拉公式中的符号
- 欧拉公式
e i x = cos x + i sin x e^{ix}=\cos x+i\sin x eix=cosx+isinx - 当 x = π x =\pi x=π时
e i π + 1 = 0 / / 欧拉恒等式 e^{i\:\pi}+1=0 //欧拉恒等式 eiπ+1=0//欧拉恒等式- e e e:自然对数的底
- i i i:虚数， i 2 = − 1 i^2 = -1 i2=−1
- cos x + i sin x \cos x+i\sin x cosx+isinx:复数， cos x \cos x cosx为实部， sin x \sin x sinx为虚部，实部和虚部对应复平面 的一个点，在复平面中如下图所示(所有的点都落在一个单位圆上)：
2. 理解欧拉公式的左右两边为什么是相等的
2.1 自然对数的底 e e e 是什么
- e e e 表示 n n n 趋近于无穷大时 ( 1 + 1 n ) n (1+\frac1n)^n (1+n1)n 的极限，约等于 2.718281828459045 2.718281828459045 2.718281828459045
e = lim n → ∞ ( 1 + 1 n ) n e=\lim_{n\to\infty}\left(1+\frac1n\right)^n e=n→∞lim(1+n1)n - 记住一点：无论对 e x e^x ex求几阶导，结果都为 e x e^x ex,它的变化率是等于它本身的，它变化率的变化率也本身，变化率的变化率的变化率也等于它本身。。。。。。。可以无限套娃下去
2.2 e i x e^{ix} eix 为什么等于 cos x + i sin x \cos x+i\sin x cosx+isinx
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方法是对左右两边分别进行泰勒展开，关于泰勒展开可以参考我的另外一篇文章《泰勒多项式》
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对 e i x e^{ix} eix 在 0 0 0点处进行泰勒展开：
泰勒公式 P n ( x ) = f ( a ) + f ′ ( a ) ( x − a ) + f ′ ′ ( a ) ( x − a ) 2 2 ! + . . . + f ( n ) ( a ) ( x − a ) n n ! − − − − − − − − − − − − 在零点处展开的公式（麦克劳林公式） P n ( x ) = f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) ( x ) + f ′ ′ ( 0 ) ( x ) 2 2 ! + . . . + f ( n ) ( 0 ) ( x ) n n ! − − − − − − − − − − − − 将 e i x 带入麦克劳林公式 e x = e 0 + ( e 0 ) ′ ( i x ) + ( e 0 ) ′ ′ ( i x ) 2 2 ! + . . . + ( e 0 ) ( n ) ( i x ) n n ! − − − − − − − − − − − − e 0 的导数 = e 0 = 1 e i x = 1 + i x + ( i x ) 2 2 ! + ( i x ) 3 3 ! . . . + ( i x ) n n ! − − − − − − − − − − − − e i x = ∑ n = 0 ∞ ( i x ) n n ! / / 注： 0 ! = 1 − − − − − − − − − − − − 因为 i 2 = − 1 , 所以在 n 为偶数的时候， i 是可以消掉的，所以，上述公式也可以写成实部和虚部两部分 e i x = ∑ n = 0 ∞ ( i x ) 2 n ( 2 n ) ! + ∑ n = 0 ∞ ( i x ) 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! − − e i x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! + i ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! 泰勒公式\\ P_n(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+ f''(a)\frac {(x-a)^2}{2!} + ... + f^{(n)}(a)\frac{(x-a)^n}{n!}\\ ------------\\ 在零点处展开的公式（麦克劳林公式）\\ P_n(x)=f(0)+f'(0)(x)+ f''(0)\frac {(x)^2}{2!} + ... + f^{(n)}(0)\frac{(x)^n}{n!}\\ ------------\\ 将e^{ix}带入麦克劳林公式\\ e^x = e^0+(e^0)'(ix)+(e^0)''\frac {(ix)^2}{2!} + ... + (e^0)^{(n)}\frac{(ix)^n}{n!}\\ ------------\\ e^0的导数 = e^0 = 1\\ e^{ix} = 1 + ix + \frac {(ix)^2}{2!} + \frac {(ix)^3}{3!} ... + \frac{(ix)^n}{n!}\\ ------------\\ e^{ix}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(ix)^n}{n!} //注：0! = 1\\ ------------\\ 因为 i^2 = -1, 所以在n为偶数的时候，i是可以消掉的，所以，上述公式也可以写成实部和虚部两部分\\ e^{ix}=\sum_{n=0}^\infty\frac{(ix)^{2n}}{(2n)!}+\sum_{n=0}^\infty\frac{(ix)^{2n+1}}{(2n+1)!}\\ --\\ e^{ix}=\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+i\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} 泰勒公式Pn(x)=f(a)+f′(a)(x−a)+f′′(a)2!(x−a)2+...+f(n)(a)n!(x−a)n−−−−−−−−−−−−在零点处展开的公式（麦克劳林公式）Pn(x)=f(0)+f′(0)(x)+f′′(0)2!(x)2+...+f(n)(0)n!(x)n−−−−−−−−−−−−将eix带入麦克劳林公式ex=e0+(e0)′(ix)+(e0)′′2!(ix)2+...+(e0)(n)n!(ix)n−−−−−−−−−−−−e0的导数=e0=1eix=1+ix+2!(ix)2+3!(ix)3...+n!(ix)n−−−−−−−−−−−−eix=n=0∑∞n!(ix)n//注：0!=1−−−−−−−−−−−−因为i2=−1,所以在n为偶数的时候，i是可以消掉的，所以，上述公式也可以写成实部和虚部两部分eix=n=0∑∞(2n)!(ix)2n+n=0∑∞(2n+1)!(ix)2n+1−−eix=n=0∑∞(−1)n(2n)!x2n+in=0∑∞(−1)n(2n+1)!x2n+1 -
对 cos x + i sin x \cos x+i\sin x cosx+isinx进行泰勒展开
- 对 cos x \cos x cosx 进行泰勒展开，过程不过多赘述了，直接写结果
cos x = cos ( x ) = 1 − x 2 2 ! + x 4 4 ! − x 6 6 ! + ⋯ . cos x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! \cos x = \cos(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\cdots.\\\cos x = \sum_{n=0}^\infty\left(-1\right)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} cosx=cos(x)=1−2!x2+4!x4−6!x6+⋯.cosx=n=0∑∞(−1)n(2n)!x2n - 对 sin x \sin x sinx 进行泰勒展开，过程不过多赘述了，直接写结果
sin ( x ) = x − x 3 3 ! + x 5 5 ! − x 7 7 ! + ⋯ . sin ( x ) = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! \sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\cdots.\\ \sin(x) = \sum_{n=0}^\infty\left(-1\right)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} sin(x)=x−3!x3+5!x5−7!x7+⋯.sin(x)=n=0∑∞(−1)n(2n+1)!x2n+1 - cos x + i sin x \cos x+i\sin x cosx+isinx 的泰勒展开为
cos x + i sin x = ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n ( 2 n ) ! + i ∑ n = 0 ∞ ( − 1 ) n x 2 n + 1 ( 2 n + 1 ) ! \cos x+i\sin x = \sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!}+i\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} cosx+isinx=n=0∑∞(−1)n(2n)!x2n+in=0∑∞(−1)n(2n+1)!x2n+1
- 对 cos x \cos x cosx 进行泰勒展开，过程不过多赘述了，直接写结果
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总结：
如下图所示 e i x = cos x + i sin x e^{ix}=\cos x+i\sin x eix=cosx+isinx 的泰勒展开是完全一样的，所以等式两边是等价的
3. e i π + 1 = 0 e^{i\:\pi}+1=0 eiπ+1=0又为什么成立
3.1 分析
- e i π e^{i\:\pi} eiπ中的 π \pi π 代表的是什么？直接说答案 - 角度，准确的说是 18 0 0 180^0 1800，这是弧度值的表示方法
- 使用弧度制如何表示一个角度呢？其实很简单，就是 弧长 / 半径 θ ( 弧度 ) = 弧长 s 半径 r \theta\left(\text{弧度}\right)=\frac{\text{弧长}s}{\text{半径}r} θ(弧度)=半径r弧长s
- 半圆的弧长是 π r \:\pi r πr， 所以 18 0 0 = π r r = π 180^0 = \frac{\:\pi r}{r} = \:\pi 1800=rπr=π
- 常见角度与弧度对照表：
| 角度（度） | 弧度（rad） |
|---|---|
| 0° | 0 |
| 30° | π 6 \frac{\pi}{6} 6π |
| 45° | π 4 \frac{\pi}{4} 4π |
| 60° | π 3 \frac{\pi}{3} 3π |
| 90° | π 2 \frac{\pi}{2} 2π |
| 180° | π \pi π |
3.2 结论
- 因为 π = 18 0 o \pi = 180^o π=180o,所以
e i π = cos 18 0 o + i sin 18 0 o e i π = − 1 + i ∗ 0 e i π = − 1 − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − e i π + 1 = 0 e^{i\:\pi} = \cos {180^o}+i\sin {180^o}\\ e^{i\:\pi} = -1 + i*0\\ e^{i\:\pi} = -1\\ ----------------------------------------------\\ e^{i\:\pi}+1=0 eiπ=cos180o+isin180oeiπ=−1+i∗0eiπ=−1−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−eiπ+1=0