文章目录
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- [1 0 0 型与 ∞ ∞ \frac{0}{0}型与\frac{\infty}{\infty} 00型与∞∞未定式](#1 0 0 型与 ∞ ∞ \frac{0}{0}型与\frac{\infty}{\infty} 00型与∞∞未定式)
- [2 定理](#2 定理)
- [3 其他类型未定式](#3 其他类型未定式)
- 结语
1 0 0 型与 ∞ ∞ \frac{0}{0}型与\frac{\infty}{\infty} 00型与∞∞未定式
- 0 0 \frac{0}{0} 00型未定式：当 x → a x \to a x→a或 x → ∞ x\to \infty x→∞时,两个函数 f ( x ) 和 F ( x ) f(x)和F(x) f(x)和F(x)都趋向于零，那么极限 lim x → a ∣ x → ∞ f ( x ) F ( x ) \lim\limits_{x\to a|x\to\infty}{\frac{f(x)}{F(x)}} x→a∣x→∞limF(x)f(x)可能存在、也可能不存在。
- ∞ ∞ \frac{\infty}{\infty} ∞∞型未定式：当 x → a x \to a x→a或 x → ∞ x\to \infty x→∞时,两个函数 f ( x ) 和 F ( x ) f(x)和F(x) f(x)和F(x)都趋向无穷大，那么极限 lim x → a ∣ x → ∞ f ( x ) F ( x ) \lim_{x\to a|x\to\infty}{\frac{f(x)}{F(x)}} limx→a∣x→∞F(x)f(x)可能存在、也可能不存在。
2 定理
讨论 x → a , 0 0 未定式 x\to a ,\frac{0}{0}未定式 x→a,00未定式
定理1 设
若 f ( x ) 与 F ( x ) f(x)与F(x) f(x)与F(x)满足以下条件：
(1) lim x → a f ( x ) = 0 , lim x → a F ( x ) = 0 \lim\limits_{x\to a}{f(x)}=0,\lim\limits_{x\to a}{F(x)}=0 x→alimf(x)=0,x→alimF(x)=0
(2) ∀ x ∈ U ∘ ( a ) , f ( x ) 与 F ( x ) 都可导，且 F ′ ( x ) ≠ 0 \forall x\in\overset{\circ}{U}(a),f(x)与F(x)都可导，且F^{'}(x)\not=0 ∀x∈U∘(a),f(x)与F(x)都可导，且F′(x)=0
(3) lim x → a f ( x ) F ( x ) 存在（或为无穷大） \lim\limits_{x\to a}{\frac{f(x)}{F(x)}}存在（或为无穷大） x→alimF(x)f(x)存在（或为无穷大）
则
lim x → a f ( x ) F ( x ) = lim x → a f ′ ( x ) F ′ ( x ) \lim\limits_{x\to a}{\frac{f(x)}{F(x)}}=\lim\limits_{x\to a}{\frac{f^{'}(x)}{F^{'}(x)}} x→alimF(x)f(x)=x→alimF′(x)f′(x)
这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的方法称为洛必达法则。
证明 : lim x → a f ( x ) F ( x ) 与 f ( a ) 及 F ( a ) 无关 lim x → a f ( x ) = 0 , lim x → a F ( x ) = 0 令 f ( a ) = F ( x ) = 0 ∀ x ∈ U ∘ ( a ) , [ x , a ] 区间上，满足柯西中值定理定理，有 f ( x ) F ( x ) = f ( x ) − f ( a ) F ( x ) − F ( a ) = f ′ ( ξ ) F ′ ( ξ ) ( x < ξ < a ) 当 x → a 时，对两边求极限有 lim x → a f ( x ) F ( x ) = lim x → a f ′ ( ξ ) F ′ ( ξ ) = lim ξ → a f ′ ( ξ ) F ′ ( ξ ) = lim x → a f ′ ( x ) F ′ ( x ) 证明:\\ \lim\limits_{x\to a}{\frac{f(x)}{F(x)}}与f(a)及F(a)无关\\ \lim\limits_{x\to a}f(x)=0,\lim\limits_{x\to a}{F(x)}=0\\ 令f(a)=F(x)=0\\ \forall x\in \overset{\circ}{U}(a),[x,a]区间上，满足柯西中值定理定理，有\\ \frac{f(x)}{F(x)}=\frac{f(x)-f(a)}{F(x)-F(a)}=\frac{f^{'}(\xi)}{F^{'}(\xi)}(x\lt \xi\lt a)\\ 当x\to a时，对两边求极限有\\ \lim\limits_{x\to a}{\frac{f(x)}{F(x)}}=\lim\limits_{x\to a}{\frac{f^{'}(\xi)}{F^{'}(\xi)}} =\lim\limits_{\xi\to a}{\frac{f^{'}(\xi)}{F^{'}(\xi)}}=\lim\limits_{x\to a}{\frac{f^{'}(x)}{F^{'}(x)}}\\ 证明:x→alimF(x)f(x)与f(a)及F(a)无关x→alimf(x)=0,x→alimF(x)=0令f(a)=F(x)=0∀x∈U∘(a),[x,a]区间上，满足柯西中值定理定理，有F(x)f(x)=F(x)−F(a)f(x)−f(a)=F′(ξ)f′(ξ)(x<ξ<a)当x→a时，对两边求极限有x→alimF(x)f(x)=x→alimF′(ξ)f′(ξ)=ξ→alimF′(ξ)f′(ξ)=x→alimF′(x)f′(x)
注：
- 当 lim x → a f ′ ( x ) F ′ ( x ) 为 ∞ 时， lim x → a f ( x ) F ( x ) = lim x → a f ′ ( x ) F ′ ( x ) 也为 ∞ \lim\limits_{x\to a}{\frac{f^{'}(x)}{F^{'}(x)}}为\infty时，\lim\limits_{x\to a}{\frac{f(x)}{F(x)}}=\lim\limits_{x\to a}{\frac{f^{'}(x)}{F^{'}(x)}}也为\infty x→alimF′(x)f′(x)为∞时，x→alimF(x)f(x)=x→alimF′(x)f′(x)也为∞
- lim x → a f ( x ) F ( x ) = 0 0 / ∞ ∞ lim x → a f ′ ( x ) F ′ ( x ) = 0 0 / ∞ ∞ lim x → a f ′ ′ ( x ) F ′ ′ ( x ) ⋯ \lim\limits_{x\to a}{\frac{f(x)}{F(x)}}\overset{\frac{0}{0}/\frac{\infty}{\infty}}{=}\lim\limits_{x\to a}{\frac{f^{'}(x)}{F^{'}(x)}}\overset{\frac{0}{0}/\frac{\infty}{\infty}}{=}\lim\limits_{x\to a}{\frac{f^{''}(x)}{F^{''}(x)}}\cdots x→alimF(x)f(x)=00/∞∞x→alimF′(x)f′(x)=00/∞∞x→alimF′′(x)f′′(x)⋯
- lim x → ∞ f ( x ) F ( x ) = 0 0 / ∞ ∞ lim x → ∞ f ′ ( x ) F ′ ( x ) = 0 0 / ∞ ∞ lim x → ∞ f ′ ′ ( x ) F ′ ′ ( x ) ⋯ \lim\limits_{x\to \infty}{\frac{f(x)}{F(x)}}\overset{\frac{0}{0}/\frac{\infty}{\infty}}{=}\lim\limits_{x\to \infty}{\frac{f^{'}(x)}{F^{'}(x)}}\overset{\frac{0}{0}/\frac{\infty}{\infty}}{=}\lim\limits_{x\to \infty}{\frac{f^{''}(x)}{F^{''}(x)}}\cdots x→∞limF(x)f(x)=00/∞∞x→∞limF′(x)f′(x)=00/∞∞x→∞limF′′(x)f′′(x)⋯
例1 lim x → 0 sin k x x ( k ≠ 0 ) \lim\limits_{x\to 0}{\frac{\sin kx}{x}}(k\not=0) x→0limxsinkx(k=0)
解： lim x → 0 sin k x x = lim x → 0 k cos k x = k 解：\\ \lim\limits_{x\to 0}{\frac{\sin kx}{x}}=\lim\limits_{x\to0}{k\cos kx}=k 解：x→0limxsinkx=x→0limkcoskx=k
例2 lim x → 1 x 3 − 3 x + 2 x 3 − x 2 − x + 1 \lim\limits_{x\to1}{\frac{x^3-3x+2}{x^3-x^2-x+1}} x→1limx3−x2−x+1x3−3x+2
解 lim x → 1 x 3 − 3 x + 2 x 3 − x 2 − x + 1 = lim x → 1 3 x 2 − 3 3 x 2 − 2 x − 1 = lim x → 1 6 x 6 x − 2 = 3 2 解\\ \lim\limits_{x\to1}{\frac{x^3-3x+2}{x^3-x^2-x+1}}=\lim\limits_{x\to1}{\frac{3x^2-3}{3x^2-2x-1}}=\lim\limits_{x\to1}{\frac{6x}{6x-2}}=\frac{3}{2} 解x→1limx3−x2−x+1x3−3x+2=x→1lim3x2−2x−13x2−3=x→1lim6x−26x=23
例3 lim x → 0 x − sin x x 3 \lim\limits_{x\to0}{\frac{x-\sin x}{x^3}} x→0limx3x−sinx
解 : lim x → 0 x − sin x x 3 = lim x → 0 1 − cos x 3 x 2 = lim x → 0 1 2 x 2 3 x 2 = 1 6 解:\\ \lim\limits_{x\to0}{\frac{x-\sin x}{x^3}}=\lim\limits_{x\to0}{\frac{1-\cos x}{3x^2}}=\lim\limits_{x\to0}{\frac{\frac{1}{2}x^2}{3x^2}}=\frac{1}{6} 解:x→0limx3x−sinx=x→0lim3x21−cosx=x→0lim3x221x2=61
例4 lim x → + ∞ π 2 − arctan x 1 x \lim\limits_{x\to+\infty}{\frac{\frac{\pi}{2}-\arctan x}{\frac{1}{x}}} x→+∞limx12π−arctanx
解 lim x → + ∞ π 2 − arctan x 1 x = lim x → + ∞ x 2 1 + x 2 = 1 解\\ \lim\limits_{x\to+\infty}{\frac{\frac{\pi}{2}-\arctan x}{\frac{1}{x}}}=\lim\limits_{x\to+\infty}{\frac{x^2}{1+x^2}}\\ =1 解x→+∞limx12π−arctanx=x→+∞lim1+x2x2=1
例5 lim x → + ∞ ln x x n ( n > 0 ) \lim\limits_{x\to+\infty}{\frac{\ln x}{x^n}}(n\gt 0) x→+∞limxnlnx(n>0)
解 : lim x → + ∞ ln x x n ( n > 0 ) = lim x → + ∞ 1 x n x n − 1 = 0 解:\\ \lim\limits_{x\to+\infty}{\frac{\ln x}{x^n}}(n\gt 0)=\lim\limits_{x\to+\infty}{\frac{\frac{1}{x}}{nx^{n-1}}}=0 解:x→+∞limxnlnx(n>0)=x→+∞limnxn−1x1=0
例6 lim x → + ∞ x n e λ x ( n > 0 , λ > 0 ) \lim\limits_{x\to+\infty}{\frac{x^n}{e^{\lambda x}}}(n\gt 0,\lambda \gt 0) x→+∞limeλxxn(n>0,λ>0)
解 : lim x → + ∞ x n e λ x = lim x → + ∞ n x n − 1 λ e λ x = ⋯ = lim x → + ∞ n ! λ n e λ x = 0 解:\\ \lim\limits_{x\to+\infty}{\frac{x^n}{e^{\lambda x}}}=\lim\limits_{x\to+\infty}{\frac{nx^{n-1}}{\lambda e^{\lambda x}}}=\cdots=\lim\limits_{x\to+\infty}{\frac{n!}{\lambda^ne^{\lambda x}}}=0 解:x→+∞limeλxxn=x→+∞limλeλxnxn−1=⋯=x→+∞limλneλxn!=0
注
- x → + ∞ , e λ x x\to+\infty,e^{\lambda x} x→+∞,eλx趋向于无穷的速度快于 x n ( n > 0 ) x^n(n\gt 0) xn(n>0)，快于 ln x \ln x lnx
例9 lim x → ∞ x + sin x x \lim\limits_{x\to\infty}{\frac{x+\sin x}{x}} x→∞limxx+sinx
解： lim x → ∞ x + sin x x = lim x → ∞ 1 + cos x 1 , 不存在 , 不能使用洛必达法则 分子分母同除以 x , 有 lim x → ∞ x + sin x x = lim x → ∞ 1 + sin x x 1 = 2 解：\\ \lim\limits_{x\to\infty}{\frac{x+\sin x}{x}}=\lim\limits_{x\to\infty}{\frac{1+\cos x}{1}}, 不存在,不能使用洛必达法则\\ 分子分母同除以x,有 \lim\limits_{x\to\infty}{\frac{x+\sin x}{x}}=\lim\limits_{x\to\infty}{\frac{1+\frac{\sin x}{x}}{1}}=2 解：x→∞limxx+sinx=x→∞lim11+cosx,不存在,不能使用洛必达法则分子分母同除以x,有x→∞limxx+sinx=x→∞lim11+xsinx=2
注
- x → ∞ x\to\infty x→∞有理分式求极限，可以使用同除最大项方法
- 求极限可以综合运用各种方法，比如无穷小替换、三角函数公式等
3 其他类型未定式
其他未定式类型：
- 0 ⋅ ∞ 0\cdot\infty 0⋅∞
- ∞ − ∞ \infty-\infty ∞−∞
- 0 0 0^0 00
- ∞ 0 \infty^0 ∞0
- 1 ∞ 1^\infty 1∞
0 ⋅ ∞ 0\cdot\infty 0⋅∞
0 ⋅ ∞ ⇒ 0 1 ∞ ⇒ 0 0 0 ⋅ ∞ ⇒ ∞ 1 0 ⇒ ∞ ∞ ∞ − ∞ ⇒ 1 0 − 1 0 通分 ⇒ 0 0 0 0 ⇒ e ln 0 0 = e 0 ln 0 ⇒ e 0 ⋅ ∞ ⇒ ⋯ ∞ 0 ⇒ e ln ∞ 0 = e 0 ln ∞ ⇒ e 0 ⋅ ∞ ⇒ ⋯ 1 ∞ ⇒ e ln 1 ∞ = e ∞ ln 1 ⇒ e ∞ ⋅ 0 ⇒ ⋯ 0\cdot\infty\Rightarrow \frac{0}{\frac{1}{\infty}}\Rightarrow \frac{0}{0}\\ 0\cdot\infty\Rightarrow \frac{\infty}{\frac{1}{0}}\Rightarrow \frac{\infty}{\infty}\\ \infty-\infty\Rightarrow \frac{1}{0}-\frac{1}{0} 通分\Rightarrow \frac{0}{0}\\ 0^0\Rightarrow e^{\ln 0^0}=e^{0\ln0}\Rightarrow e^{0\cdot \infty}\Rightarrow\cdots\\ \infty^0\Rightarrow e^{\ln \infty^0}=e^{0\ln\infty}\Rightarrow e^{0\cdot \infty}\Rightarrow\cdots\\ 1^\infty\Rightarrow e^{\ln 1^\infty}=e^{\infty\ln1}\Rightarrow e^{\infty\cdot 0}\Rightarrow\cdots\\ 0⋅∞⇒∞10⇒000⋅∞⇒01∞⇒∞∞∞−∞⇒01−01通分⇒0000⇒eln00=e0ln0⇒e0⋅∞⇒⋯∞0⇒eln∞0=e0ln∞⇒e0⋅∞⇒⋯1∞⇒eln1∞=e∞ln1⇒e∞⋅0⇒⋯
例11 lim x → 0 + x 2 ⋅ ln x \lim\limits_{x\to0^+}{x^2\cdot\ln x} x→0+limx2⋅lnx
解： lim x → 0 + x 2 ⋅ ln x = lim x → 0 + ln x 1 x 2 = lim x → 0 + 1 x − 2 x − 3 = 0 解：\\ \lim\limits_{x\to0^+}{x^2\cdot\ln x}=\lim\limits_{x\to0^+}{\frac{\ln x}{\frac{1}{x^2}}}\\ =\lim\limits_{x\to0^+}{\frac{\frac{1}{x}}{-2{x^{-3}}}}=0 解：x→0+limx2⋅lnx=x→0+limx21lnx=x→0+lim−2x−3x1=0
例12 lim x → π 2 sec x − tan x \lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}{\sec x -\tan x} x→2πlimsecx−tanx
解 : lim x → π 2 ( sec x − tan x ) = lim x → π 2 ( 1 cos x − sin x cos x ) = lim x → π 2 − cos x − sin x = 0 解:\\ \lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}{(\sec x -\tan x)}=\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}{(\frac{1}{\cos x} -\frac{\sin x}{\cos x})}\\ =\lim\limits_{x\to\frac{\pi}{2}}{\frac{-\cos x}{-\sin x}}=0 解:x→2πlim(secx−tanx)=x→2πlim(cosx1−cosxsinx)=x→2πlim−sinx−cosx=0
例14 lim x → 0 + x x \lim\limits_{x\to 0^+}{x^x} x→0+limxx
解： lim x → 0 + x x = lim x → 0 + e ln x x = e lim x → 0 + x ln x lim x → 0 + x ln x = lim x → 0 + ln x 1 x = lim x → 0 + 1 x − 1 x − 2 = lim x → 0 + − x = 0 lim x → 0 + x x = e 0 = 1 解：\\ \lim\limits_{x\to 0^+}{x^x}=\lim\limits_{x\to 0^+}{e^{\ln x^x}}\\ =e^{\lim\limits_{x\to 0^+}{x\ln x}}\\ \lim\limits_{x\to 0^+}{x\ln x}=\lim\limits_{x\to 0^+}{\frac{\ln x}{\frac{1}{x}}}=\lim\limits_{x\to 0^+}{\frac{\frac{1}{x}}{-1x^{-2}}}=\lim\limits_{x\to 0^+}{-x}=0\\ \lim\limits_{x\to 0^+}{x^x}=e^0=1 解：x→0+limxx=x→0+limelnxx=ex→0+limxlnxx→0+limxlnx=x→0+limx1lnx=x→0+lim−1x−2x1=x→0+lim−x=0x→0+limxx=e0=1
结语
❓QQ:806797785
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参考：
1\]同济大学数学系.高等数学 第七版 上册\[M\].北京:高等教育出版社,2014.7.p132-136. \[2\][同济版《高等数学》全程教学视频](https://www.bilibili.com/video/BV1864y1T7Ks)\[CP/OL\].2020-04-16.p20.