从基础到实战的量化交易全流程学习：1.3 数学与统计学基础------线性代数与矩阵运算 | 矩阵基础
第二部分：线性代数与矩阵运算
第1节：矩阵基础：矩阵运算（加减乘逆）、转置、行列式与秩
一、矩阵基础：用"表格"组织金融数据
矩阵是由数字组成的矩形阵列，形如 A = ( a 11 a 12 ... a 1 n a 21 a 22 ... a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 ... a m n ) \mathbf{A} = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{pmatrix} A= a11a21⋮am1a12a22⋮am2......⋱...a1na2n⋮amn ，在量化交易中，它是处理多维度数据的核心工具。
1. 矩阵的基本运算
| 运算类型 | 定义与公式 | 量化交易场景举例 |
|---|---|---|
| 加法/减法 | 同型矩阵对应元素相加减： C = A ± B \mathbf{C} = \mathbf{A} \pm \mathbf{B} C=A±B， c i j = a i j ± b i j c_{ij} = a_{ij} \pm b_{ij} cij=aij±bij | 不同时间的因子暴露矩阵相加减（如月度调仓） |
| 数乘 | 常数 k k k 乘以矩阵所有元素： C = k A \mathbf{C} = k\mathbf{A} C=kA， c i j = k ⋅ a i j c_{ij} = k \cdot a_{ij} cij=k⋅aij | 因子权重缩放（如对高风险因子加权系数调整） |
| 乘法 | 矩阵 A m × p \mathbf{A}{m \times p} Am×p 与 B p × n \mathbf{B}{p \times n} Bp×n 相乘： C m × n \mathbf{C}{m \times n} Cm×n， c i j = ∑ k = 1 p a i k b k j c{ij} = \sum_{k=1}^p a_{ik}b_{kj} cij=∑k=1paikbkj | 计算因子加权收益（因子暴露×因子收益率） |
| 转置 | 行列互换： A T \mathbf{A}^T AT， a i j T = a j i a^T_{ij} = a_{ji} aijT=aji | 转换数据维度（如将因子截面数据转为时间序列） |
| 逆矩阵 | 若 A \mathbf{A} A 为方阵且可逆，满足 A A − 1 = A − 1 A = I \mathbf{A}\mathbf{A}^{-1} = \mathbf{A}^{-1}\mathbf{A} = \mathbf{I} AA−1=A−1A=I（单位矩阵） | 求解线性方程组（如多因子模型回归系数） |
2. 关键性质与注意事项
- 乘法不满足交换律 ： A B ≠ B A \mathbf{A}\mathbf{B} \neq \mathbf{B}\mathbf{A} AB=BA（除非特殊情况）。
- 逆矩阵存在条件 ：矩阵必须为方阵且行列式 det ( A ) ≠ 0 \det(\mathbf{A}) \neq 0 det(A)=0（满秩矩阵）。
- 秩（Rank） ：矩阵中线性无关的行/列数，反映数据的"有效维度"。
- 若秩为 r r r，则数据可压缩到 r r r 维空间（PCA降维的理论基础）。
二、矩阵运算在多因子模型中的核心应用
多因子模型假设资产收益率由多个因子（如市值、PE、动量）共同驱动，矩阵运算贯穿数据处理全流程。
1. 因子数据组织：用矩阵表示"暴露"与"收益"
- 因子暴露矩阵（Exposure Matrix） ：
- 行：资产（如100只股票），列：因子（如3个因子：市值、PE、动量）。
- 示例：
X = ( x 11 x 12 x 13 x 21 x 22 x 23 ⋮ ⋮ ⋮ x 100 , 1 x 100 , 2 x 100 , 3 ) ( 维度：100×3 ) \mathbf{X} = \begin{pmatrix} x_{11} & x_{12} & x_{13} \\ % 股票1的3个因子暴露 x_{21} & x_{22} & x_{23} \\ % 股票2的因子暴露 \vdots & \vdots & \vdots \\ x_{100,1} & x_{100,2} & x_{100,3} \end{pmatrix} \quad (\text{维度：100×3}) X= x11x21⋮x100,1x12x22⋮x100,2x13x23⋮x100,3 (维度：100×3)
- 因子收益率向量（Factor Returns） ：
- f = ( f 1 f 2 f 3 ) \mathbf{f} = \begin{pmatrix} f_1 \\ f_2 \\ f_3 \end{pmatrix} f= f1f2f3 （3个因子的收益率）。
- 资产收益率计算 ：
- 资产收益率 r = X f + e \mathbf{r} = \mathbf{X}\mathbf{f} + \mathbf{e} r=Xf+e（ e \mathbf{e} e 为残差向量）。
2. 矩阵乘法：快速计算"因子加权收益"
假设某投资组合对3个因子的权重为 w = ( w 1 w 2 w 3 ) \mathbf{w} = \begin{pmatrix} w_1 \\ w_2 \\ w_3 \end{pmatrix} w= w1w2w3 ，则组合收益为：
组合收益 = w T f = w 1 f 1 + w 2 f 2 + w 3 f 3 \text{组合收益} = \mathbf{w}^T \mathbf{f} = w_1f_1 + w_2f_2 + w_3f_3 组合收益=wTf=w1f1+w2f2+w3f3
- 向量化优势：避免循环，直接通过矩阵乘法批量计算所有资产/组合的收益，提升计算效率（尤其在Python中用NumPy优化）。
3. 逆矩阵与线性方程组：求解因子系数（最小二乘法）
多因子模型通过回归求因子系数 β \mathbf{\beta} β，使资产收益率 r \mathbf{r} r 与因子暴露 X \mathbf{X} X 的残差最小：
β = ( X T X ) − 1 X T r \mathbf{\beta} = (\mathbf{X}^T \mathbf{X})^{-1} \mathbf{X}^T \mathbf{r} β=(XTX)−1XTr
- 步骤解析 ：
- 计算 X T X \mathbf{X}^T \mathbf{X} XTX（因子暴露的协方差矩阵）。
- 求逆矩阵 ( X T X ) − 1 (\mathbf{X}^T \mathbf{X})^{-1} (XTX)−1（需确保矩阵可逆，即因子间无严格共线性）。
- 计算 X T r \mathbf{X}^T \mathbf{r} XTr（因子与收益率的协方差向量）。
- 得到因子系数 β \mathbf{\beta} β（反映因子对收益的贡献）。
三、Python实战：用NumPy实现矩阵运算
python
import numpy as np
# 1. 创建因子暴露矩阵（5只股票，2个因子：市值、PE）
X = np.array([
[100, 15], # 股票1：市值100亿，PE15
[200, 20], # 股票2
[50, 12], # 股票3
[300, 25], # 股票4
[150, 18] # 股票5
])
# 2. 因子收益率向量（市值因子涨5%，PE因子跌2%）
f = np.array([0.05, -0.02])
# 3. 计算资产收益率：r = X * f（矩阵乘法）
r = np.dot(X, f)
print("资产收益率：", r)
# 输出：[100*0.05 + 15*(-0.02), 200*0.05 + 20*(-0.02), ...] = [4.7, 9.6, 2.2, 14.5, 7.2]
# 4. 逆矩阵应用：假设已知r和X，求解因子系数β（最小二乘法）
# 构造带截距项的X（添加全1列）
X_with_intercept = np.hstack((np.ones((5, 1)), X)) # 维度5×3（截距+2因子）
r = np.array([4.7, 9.6, 2.2, 14.5, 7.2])
beta = np.linalg.inv(X_with_intercept.T @ X_with_intercept) @ X_with_intercept.T @ r
print("因子系数β（含截距项）：", beta)
# 输出：[截距项, 市值因子系数, PE因子系数]，反映各因子对收益的贡献四、行列式与秩：判断数据有效性
-
行列式（Determinant）：
- 物理意义：方阵对应的线性变换的"体积缩放因子"， det ( A ) = 0 \det(\mathbf{A})=0 det(A)=0 表示矩阵不可逆（行/列线性相关）。
- 量化应用：检验因子协方差矩阵是否可逆（避免多重共线性）。
-
秩（Rank）：
- 若因子暴露矩阵 X \mathbf{X} X 的秩为2（低于列数3），说明3个因子中存在冗余（如市值与股价高度相关），需用PCA降维。
本节总结
- 矩阵是多因子模型的"数据骨架"：从因子暴露到收益计算，从回归分析到风险建模，矩阵运算贯穿始终。
- 向量化计算提升效率：利用NumPy的矩阵操作，避免Python循环，大幅加速数据处理（尤其在处理万级资产×百级因子时）。