详解SLAM中的李群和李代数(上)

1 概述

最近阅读高翔大神的《视觉SLAM十四讲》这本书,感觉整本书写的非常的平实,用非常接地气的语言毫无保留的介绍了视觉SLAM的相关知识,非常值得一读。不过,在第4章出现的李群和李代数的相关概念就有点令人难以费解了。其实这段不是这本书的作者故意写的晦涩难懂,而是这部分知识属于数学或者物理专业才会学习的知识,普通的理工科专业的读者没有接触过这方面的知识。笔者也是在这个地方卡了壳,因此在本文中将李群和李代数相关的知识总结一下。

2 群

在数学中, 是一个基础但非常重要的代数结构,它由一个集合和一种满足特定条件的二元运算组成。具体来说,如果一个集合 \(G\) 和其上的一个二元运算 \(\cdot\) 满足以下四个公理,则称 \((G, \cdot)\) 为一个群:

  1. 封闭性(Closure) :对于 \(G\) 中任意两个元素 \(a\) 和 \(b\),它们通过运算 \(\cdot\) 得到的结果也是 \(G\) 的一个元素。即,如果 \(a, b \in G\),那么 \(a \cdot b \in G\)。
  2. 结合律(Associativity) :对于 \(G\) 中任意三个元素 \(a\)、\(b\) 和 \(c\),它们之间的运算满足结合律。即,\((a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)\)。
  3. 单位元(Identity element) :存在一个 \(G\) 中的特殊元素 \(e\)(称为单位元),使得对于 \(G\) 中的任何元素 \(a\) 都有 \(e \cdot a = a \cdot e = a\)。
  4. 逆元(Inverse element) :对于 \(G\) 中的每一个元素 \(a\),都存在一个 \(G\) 中的元素 \(b\)(记作 \(a^{-1}\),称为 \(a\) 的逆元),使得 \(a \cdot a^{-1} = a^{-1} \cdot a = e\),这里 \(e\) 是上述的单位元。

概念说出来都是很抽象的,那么接下来直接举两个具体的例子。

2.1 整数集与加法运算

如果集合\(G = \mathbb{Z}= \{ \dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\ \}\),运算\(\cdot = +\),那么整数集与加法运算\((Z,+)\)就是一个群,因为其符合群的四个公理:

  1. 封闭性

    对于任意两个整数 a, b \\in \\mathbb{Z} \\(,\\) a + b 仍然是一个整数。例如, 3 + (-5) = -2 ,结果仍然在 \\mathbb{Z} 中。

    因此,封闭性成立。

  2. 结合律

    加法是结合的,即对于任意 a, b, c \\in \\mathbb{Z} ,有

    \[(a + b) + c = a + (b + c) \]

    因此,结合律成立。

  3. 单位元

    单位元是 e = 0 ,因为对于任意 a \\in \\mathbb{Z} ,有

    \[a + 0 = 0 + a = a \]

    因此,单位元存在。

  4. 逆元

    对于任意 a \\in \\mathbb{Z} ,它的逆元是 -a ,因为

    \[a + (-a) = (-a) + a = 0 \]

    因此,每个元素都有逆元。

2.2 非零实数集与乘法运算

如果集合\(G = \mathbb{R}^* = \{ x \in \mathbb{R} \mid x \neq 0 \}\),运算\(\cdot = \times\),那么非零实数集与乘法运算\((\mathbb{R}^*,\times)\)就是一个群,因为其符合群的四个公理:

  1. 封闭性

    对于任意两个非零实数 a, b \\in \\mathbb{R}\^\* \\(,\\) a \\times b 仍然是一个非零实数。例如, 3 \\times (-2) = -6 ,结果仍然在 \\mathbb{R}\^\* 中。

    因此,封闭性成立。

  2. 结合律

    乘法是结合的,即对于任意 a, b, c \\in \\mathbb{R}\^\* ,有

    \[(a \times b) \times c = a \times (b \times c) \]

    因此,结合律成立。

  3. 单位元

    单位元是 e = 1 ,因为对于任意 a \\in \\mathbb{R}\^\* ,有

    \[a \times 1 = 1 \times a = a \]

    因此,单位元存在。

  4. 逆元

    对于任意 a \\in \\mathbb{R}\^\* ,它的逆元是 \\frac{1}{a} ,因为

    \[a \times \frac{1}{a} = \frac{1}{a} \times a = 1 \]

    因此,每个元素都有逆元。

这样来看的话,群的概念还是很好理解的。数学上的语言都是很抽象很概括的,我们不妨结合具体的例子来理解。那么,为什么会有群这个概念呢,因为数学家发现这种二元运算的集合有非常规律良好的性质,因此将其归纳总结了出来。

3 李群

李群是具有光滑性质的群。群的定义我们刚才论述过,那么这个"光滑"指的是一个怎么样的概念呢?要说清楚这个概念,可能需要更加专业的数学知识(比如《微分几何》),但是我们可以用简单一点的概念进行类比,那就是高数中的可导。

回忆一下高数中关于可导的定义:设 \(f: D \to \mathbb{R}\) 是一个实值函数,定义在某个区间 \(D\) 上,并且 \(x_0 \in D\) 是该区间中的一个内点。如果极限

\[f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h) - f(x_0)}{h} \]

存在,则称函数 \(f\) 在点 \(x_0\) 处是可导 的,这个极限称为 \(f\) 在 \(x_0\) 处的导数,记作 \(f'(x_0)\) 或 \(\frac{df}{dx}(x_0)\)。

直观地说,这个极限衡量了当输入 \(x\) 发生微小变化时,输出 \(f(x)\) 的变化率。如果一个函数在某区间内处处可导,那么这个函数在该区间内不仅连续,而且是"光滑"的,没有尖点或间断。这是一个非常优良的性质,它意味着这个函数的每个点都可以用切线方程来近似,从而使得复杂的问题可以通过简单的线性问题来解决,极大地简化了计算。

李群的光滑性质就类似于高数中的可导性。光滑意味着群运算是可以进行微分的,李群上的任何点都可以研究其局部变化率(即导数),并通过这些导数来分析群的性质。函数的导数就是导函数,而李群在单位元附近的局部性质的描述就是李代数,它通过切空间捕捉了李群的局部线性化信息。

SLAM中两个重要的李群是特殊正交群 \(SO(n)\)特殊欧式群 \(SE(n)\),特殊正交群是旋转变换的集合和运算,特殊欧式群是欧式变换/刚性变换的集合和运算。旋转变换和欧式变换是SLAM中的两个重要的几何变换,要理解这两个概念,需要重点看《视觉SLAM十四讲》第3讲三维空间刚体运动的知识;或者对计算机图形学、计算机视觉中几何变换的知识有所了解。

3.1 特殊正交群 \(SO(3)\)

如果集合\(G\)是所有的三维旋转矩阵,运算\(\cdot\)是矩阵乘法,这样构成的群就是特殊正交群\(SO(3) = \{ R \in \mathbb{R}^{3\times3} \mid R^T R = I, \det(R) = 1\}\)。

特殊正交群符合群的四个公理:

  • 封闭性 :如果 \(R_1, R_2 \in SO(3)\),则 \(R_1 R_2 \in SO(3)\)。两个旋转矩阵的乘积仍然是正交矩阵,且行列式仍为1。从图形学的角度上来说,旋转两次得到的姿态,旋转一次也可以得到。
  • 结合律 :矩阵乘法本身是结合的,因此 \(SO(3)\) 满足结合律。
  • 单位元 :单位矩阵 \(I \in SO(3)\),因为 \(I^T I = I\) 且 \(\det(I) = +1\)。
  • 逆元 :对于任意 \(R \in SO(3)\),其逆元是 \(R^{-1} = R^T\)(正交矩阵的性质),且 \(\det(R^{-1}) = 1\)。

特殊正交群具有光滑特性,这一点我们可以结合旋转变换本身的特性来理解。设想这样的一个场景:三维空间中有一个魔方,这个魔方以自己的中心点位置进行旋转。无论这个魔方怎么旋转,到任何位置,旋转过程都是平滑的。在计算机图形学中,很容易实现这样的一个任务:给定一个起点旋转矩阵、终点旋转矩阵以及起终点的时间差,很容易线性插值出任意时刻的旋转矩阵。能够平滑地旋转物体,也很符合我们对客观物理现象的认知。

3.2 特殊欧式群 \(SE(3)\)

如果集合\(G\)是所有的欧式变换(刚体变换)矩阵,运算\(\cdot\)是矩阵乘法,这样构成的群就是特殊欧式群\(SE(3)=\bigg\{ T = \begin{bmatrix} R & t \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^{4\times4} \mid R \in SO(3) ,t \in \mathbb{R}^3 \bigg\}\)。在这里,\(R\)表示旋转矩阵,\(t\)是平移向量。

特殊欧式群符合群的四个公理:

  • 封闭性 :如果 \(T_1, T_2 \in SE(3)\),则 \(T_1 T_2 \in SE(3)\)。欧式变换是齐次变换矩阵,相乘后仍然保持旋转矩阵在左上角,平移向量在右上角的形式。从图形学的角度上来说,欧式变换两次得到的位姿,欧式变换一次也可以得到。
  • 结合律 :矩阵乘法本身是结合的,因此 \(SE(3)\) 满足结合律。
  • 单位元 :单位矩阵 \(I_{4 \times 4}\)(包含 \(3 \times 3\) 单位矩阵和零平移向量)是 \(SE(3)\) 的单位元。
  • 逆元 :对于任意 \(T \in SE(3)\),其逆元是

\[T^{-1} = \begin{bmatrix} R^T & -R^T t \\ 0 & 1 \end{bmatrix}. \]

特殊欧式群具有光滑特性,这一点同样可以结合欧式变换本身的特性来理解。欧式变换是旋转变换与平移变换的组合,我们可以假设这样一个场景:一个照相机要拍摄一个物体,需要移动到这个物体的前方,并且要调整相机朝向,才能准确生成这张物体的照片。相机无论怎么移动位置,调整朝向,这个过程都是平滑的。在计算机图形学的场景中,经常会有这样的需求,按照一条固定的轨迹飞行,这条飞行轨迹上的任意一点都可以通过插值得到,保证相机操作的平滑性。

4 李代数

4.1 预备

在进行李代数的论述之前,我们需要先学习一些预备知识。

4.1.1 反对称矩阵

一个 \(n \times n\) 实矩阵 \(A\) 是反对称矩阵(或斜对称矩阵),如果它满足:

\[A^T = -A. \]

也就是说,矩阵的转置等于它的负数,那么这个矩阵就是反对称矩阵。一个反对称矩阵的例子如下:

\[A = \begin{bmatrix} 0 & -a_3 & a_2 \\ a_3 & 0 & -a_1 \\ -a_2 & a_1 & 0 \end{bmatrix}. \]

反对称矩阵有一个很重要的性质:每个三维向量都有唯一的反对称矩阵对应。具体来说,给定一个三维实向量:

\[\boldsymbol{a} = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^3, \]

我们可以唯一地构造一个 \(3\times3\) 的反对称矩阵,记作:

\[[\boldsymbol{a}]_\times = \begin{bmatrix} 0 & -a_3 & a_2 \\ a_3 & 0 & -a_1 \\ -a_2 & a_1 & 0 \end{bmatrix}. \]

这个符号 \([\boldsymbol{a}]_\times\) 中的 \(\times\) 表示"叉乘",因为这个矩阵的作用就等价于与 \(\boldsymbol{a}\) 做叉积。

等价于叉积运算是什么意思呢?设 \(\boldsymbol{a}, \boldsymbol{b} \in \mathbb{R}^3\),那么:

\[\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = [\boldsymbol{a}]_\times \boldsymbol{b}. \]

即:\(\boldsymbol{a}\) 和 \(\boldsymbol{b}\) 的叉积 等于 反对称矩阵 \([\boldsymbol{a}]_\times\) 作用在 \(\boldsymbol{b}\) 上的结果。

举例说明,设:

\[\boldsymbol{a} = \begin{bmatrix}1 \\ 2 \\ 3\end{bmatrix}, \quad \boldsymbol{b} = \begin{bmatrix}4 \\ 5 \\ 6\end{bmatrix}, \]

则:

\[[\boldsymbol{a}]_\times = \begin{bmatrix} 0 & -3 & 2 \\ 3 & 0 & -1 \\ -2 & 1 & 0 \end{bmatrix} \]

\[[\boldsymbol{a}]_\times \boldsymbol{b} = \begin{bmatrix} 0 & -3 & 2 \\ 3 & 0 & -1 \\ -2 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}4 \\ 5 \\ 6\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 \\ 6 \\ -3 \end{bmatrix} \]

而直接计算叉积:

\[\boldsymbol{a} \times \boldsymbol{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{vmatrix} = -3\mathbf{i} + 6\mathbf{j} - 3\mathbf{k} = \begin{bmatrix} -3 \\ 6 \\ -3 \end{bmatrix} \]

两者的结果一致。

4.1.2 函数求导

1. 乘积法则

设 \(f(t), g(t)\) 是两个可导的实函数,那么它们乘积的导数为:

\[\frac{d}{dt}(f(t)g(t)) = f'(t)g(t) + f(t)g'(t) \]

例如,设 \(f(t) = t^2, g(t) = \sin t\),则:

\[(fg)' = (t^2 \sin t)' = 2t \sin t + t^2 \cos t \]

2. 链式法则

如果 \(y = f(g(t))\),那么:

\[\frac{dy}{dt} = f'(g(t)) \cdot g'(t). \]

例如,令:

  • \(f(u) = e^u\)
  • \(u = g(t) = at\)

根据链式法则:

\[\frac{d}{dt} e^{at} = \frac{d}{du} e^u \cdot \frac{d}{dt}(at) = e^u \cdot a = e^{at} \cdot a = a e^{at}. \]

即:

\[\frac{d}{dt} e^{at} = a e^{at} \]

4.1.3 矩阵求导

对于一个随自变量t变化的矩阵 \(R(t)\),它的导数 \(\frac{dR(t)}{dt}\) 是将该矩阵的每个元素分别对自变量 \(t\) 求导得到的新矩阵。例如:

如果:

\[R(t) = \begin{bmatrix} r_{11}(t) & r_{12}(t) \\ r_{21}(t) & r_{22}(t) \end{bmatrix}, \]

那么:

\[\frac{dR(t)}{dt} = \begin{bmatrix} \frac{dr_{11}}{dt} & \frac{dr_{12}}{dt} \\ \frac{dr_{21}}{dt} & \frac{dr_{22}}{dt} \end{bmatrix}. \]

所以,矩阵对自变量求导 = 矩阵中每个元素对自变量求导

通过上述概念可看出,矩阵转置运算与微分运算是可交换的。可以理解为:

  • 转置是对矩阵元素做排列;
  • 微分是对每个元素做导数;
  • 所以先转置再导数 = 先导数再转置。

公式描述就是:

\[\frac{d}{dt} R(t)^T = \left(\frac{dR(t)}{dt}\right)^T. \]

4.1.4 微分方程

微分方程是数学中的一种方程,它涉及一个或多个未知函数及其导数,目标是找到满足该方程的未知函数。后面会求解一个一阶线性常微分方程如下:

\[\frac{dx(t)}{dt} = a x(t), \quad x(0) = x_0, \]

其中 \(a\) 是常数。

先说答案,这个方程的通解是:

\[x(t) = x_0 e^{at}. \]

可以把这个解代入原方程验证是否成立。对解的两边进行求导:

\[\frac{dx(t)}{dt} = x_0 \cdot \frac{d}{dt}(e^{at}) = x_0 \cdot a e^{at} = a x_0 e^{at} = a x(t). \]

左边是 \(\frac{dx(t)}{dt}\),右边是 \(a x(t)\),两者相等,所以解成立。

如果需要严格推导这个解,需要使用分离变量法

从原方程出发:

\[\frac{dx}{dt} = a x. \]

把变量分开:

\[\frac{1}{x} dx = a dt. \]

两边积分:

\[\int \frac{1}{x} dx = \int a dt \\ \Rightarrow \ln|x| = at + C, \]

其中 \(C\) 是积分常数。

两边取指数:

\[|x| = e^{at + C} = e^C e^{at}. \]

令 \(x_0 = e^C\),得:

\[x(t) = x_0 e^{at}. \]

4.2 引出

前面我们介绍过,李群的光滑性质保证了是可以微分的,那我们就尝试对李群\(SO(3)\)进行求导。假设一个刚体在三维空间中绕某个轴旋转,其旋转状态可以用一个旋转矩阵 \(R(t)\) 来描述,其中 \(t\) 是时间参数。那么我们要求的就是 \(R(t)\) 关于时间 \(t\) 的导数:

\[\frac{d}{dt} R(t) \]

由于 \(R(t)\) 是正交矩阵,满足 \(R(t)^T R(t) = I\),对两边关于 \(t\) 求导:

\[\frac{d}{dt} \big( R(t)^T R(t) \big) = \frac{d}{dt} I \]

根据函数求导的乘积法则,展开左边的导数:

\[\frac{dR(t)^T}{dt} R(t) + R(t)^T \frac{dR(t)}{dt} = 0. \]

根据预备知识,矩阵转置运算与微分运算可交换,有\(\frac{dR(t)^T}{dt} = \big(\frac{dR(t)}{dt}\big)^T\),因此上式可以改写为:

\[\bigg(\frac{dR(t)}{dt}\bigg)^T R(t) + R(t)^T \frac{dR(t)}{dt} = 0. \]

继而:

\[\frac{dR(t)}{dt} R(t)^T = -\bigg(\frac{dR(t)}{dt}\bigg)^T R(t) \]

这表明 \(\frac{dR(t)}{dt} R(t)^T\) 是一个反对称矩阵 ,记作 \([\boldsymbol{\omega}(t)]_{\times}\),即:

\[\frac{dR(t)}{dt} = [\boldsymbol{\omega}(t)]_{\times} R(t), \]

上式是一个一阶线性微分方程,有如下条件:

\[\frac{dR(t)}{dt} = [\boldsymbol{\omega}]_\times R(t), \quad R(0) = I, \]

这个方程我们在预备知识中求解过,它的解是:

\[R(t) = \exp([\boldsymbol{\omega}]_\times t). \]

其中 \(\exp\) 表示矩阵指数运算。\(\boldsymbol{\omega}(t)\) 描述了刚体在时刻 \(t\) 的瞬时旋转轴和旋转速率,其实也就是表达旋转矩阵的旋转向量,\([\boldsymbol{\omega}(t)]_{\times}\) 是其对应的反对称矩阵。这个公式给出了从旋转向量到旋转矩阵(李群)的映射,也就是指数映射。而这个旋转向量,就是我们要论述的李代数。

如果读者熟悉计算机图形学,就会对旋转向量并不陌生,它描述了一个旋转操作的方向(旋转轴)和大小(旋转角度)。四元数就是一个与旋转向量密切相关的参数,通过罗德里格斯公式也可以将旋转向量转换成旋转矩阵。

5 结语

本篇由群引申到李群,再引出到李代数,不得不说SLAM中李群和李代数相关的知识还是很多,其中很多知识都是第一次接触到。另外,很多更基础的知识(比如高数、线代)也都忘记了,不得不一边学习新的知识一边复习旧的知识。在下一篇文章中,笔者会继续总结论述一下李代数相关的内容。

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