2.2 矩阵

考点一：方阵的幂

1. 计算方法

(1) ​找规律法​

• 适用场景：低阶矩阵或具有周期性规律的矩阵。
• 示例 ：
  计算 A = ( 0 1 1 0 ) n A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^n A=(0110)n：
  • 当 n n n 为奇数时， A n = A A^n = A An=A；
  • 当 n n n 为偶数时， A n = I A^n = I An=I。

(2) ​成比例法​

• 结论 ：若矩阵 A A A 的秩 r ( A ) < n r(A) < n r(A)<n，则 A n = 0 A^n = 0 An=0（当 n ≥ r ( A ) + 1 n \geq r(A)+1 n≥r(A)+1 时）。
• 示例 ：
  A = ( 0 1 0 0 ) A = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} A=(0010)，则 A 2 = 0 A^2 = 0 A2=0。

(3) ​相似对角化法​

• 步骤 ：
  1. 求矩阵 A A A 的特征值 λ i \lambda_i λi；
  2. 若 A A A 可对角化（即存在可逆矩阵 P P P 使 P − 1 A P = Λ P^{-1}AP = \Lambda P−1AP=Λ），则 A n = P Λ n P − 1 A^n = P\Lambda^n P^{-1} An=PΛnP−1。
• 示例 ：
  A = ( 2 1 0 2 ) A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix} A=(2012)，其特征值为 λ 1 = λ 2 = 2 \lambda_1 = \lambda_2 = 2 λ1=λ2=2，则 A n = 2 n − 1 ( 2 n 0 2 ) A^n = 2^{n-1} \begin{pmatrix} 2 & n \\ 0 & 2 \end{pmatrix} An=2n−1(20n2)。

(4) ​二项式展开法​

• 适用场景 ：矩阵可表示为 A = B + C A = B + C A=B+C，其中 B , C B, C B,C 可交换且 C C C 易求幂。
• 公式 ：
  ( B + C ) n = ∑ k = 0 n C n k B n − k C k (B + C)^n = \sum_{k=0}^n C_n^k B^{n-k} C^k (B+C)n=k=0∑nCnkBn−kCk

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考点二：矩阵的转置、伴随、逆

1. ​转置矩阵​

• 性质 ：
  • ∣ A T ∣ = ∣ A ∣ |A^T |=|A| ∣AT∣=∣A∣
  • ( k A ) T = k A T (kA)^T = k A^T (kA)T=kAT
  • ( A T ) T = A (A^T)^T=A (AT)T=A
  • ( A B ) T = B T A T (AB)^T=B^TA^T (AB)T=BTAT
  • ( A T ) ∗ = ( A ∗ ) T (A^T)^*=(A^*)^T (AT)∗=(A∗)T
  • 矩阵A为对称矩阵： ∣ A T ∣ = ∣ A ∣ |A^T |=|A| ∣AT∣=∣A∣
  • ( A + B ) T = A T + B T (A+B)^T=A^T+B^T (A+B)T=AT+BT（特别记忆）

2. ​伴随矩阵​

• 定义 ： A ∗ = ( a d j ( A ) ) i j = ( − 1 ) i + j M j i A^* = (\mathrm{adj}(A)){ij} = (-1)^{i+j} M{ji} A∗=(adj(A))ij=(−1)i+jMji，其中 M j i M_{ji} Mji 为余子式。
• 性质 ：
  • ∣ A ∗ ∣ = ∣ A ∣ n − 1 |A^* |=|A|^{n-1} ∣A∗∣=∣A∣n−1
  • ( k A ) ∗ = k n − 1 A ∗ (kA)^* = k^{n-1} A^* (kA)∗=kn−1A∗
  • ( A ∗ ) ∗ = ∣ A ∣ n − 2 A (A^*)^*=|A|^{n-2} A (A∗)∗=∣A∣n−2A
  • ( A B ) ∗ = B ∗ A ∗ (AB)^*=B^*A^* (AB)∗=B∗A∗
  • ( A ∗ ) − 1 = ( A − 1 ) ∗ (A^*)^{-1}=(A^{-1})^* (A∗)−1=(A−1)∗

3. ​逆矩阵​

• 存在条件 ：
  • ∣ A ∣ ≠ 0 |A| \neq 0 ∣A∣=0
  • 矩阵的行（列）向量组线性无关
  • 矩阵满秩（ r ( A ) = n r(A) = n r(A)=n）
• 求逆方法 ：
  • 伴随矩阵法 ： A − 1 = 1 ∣ A ∣ A ∗ A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^* A−1=∣A∣1A∗
  • 初等变换法 ：对 ( A ∣ E ) (A | E) (A∣E) 进行行变换，化为 ( E ∣ A − 1 ) (E| A^{-1}) (E∣A−1)。
• 性质 ：
  • ∣ A − 1 ∣ = ∣ A ∣ − 1 |A^{-1} |=|A|^{-1} ∣A−1∣=∣A∣−1
  • ( k A ) − 1 = k − 1 A − 1 (kA)^{-1} = k^{-1} A^{-1} (kA)−1=k−1A−1
  • ( A − 1 ) − 1 = A (A^{-1})^{-1}=A (A−1)−1=A
  • ( A B ) − 1 = B − 1 A − 1 (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1} (AB)−1=B−1A−1
  • ( A − 1 ) T = ( A T ) − 1 (A^{-1})^{T}=(A^{T})^{-1} (A−1)T=(AT)−1

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考点三：初等变换与初等矩阵

1. ​初等矩阵分类与运算​

• 行（列）交换：交换初等矩阵 E E E 的 第 i i i 行与第 j j j 行
  • 逆： E i j − 1 = E i j E_{ij}^{-1} =E_{ij} Eij−1=Eij
  • 转置： E i j T = E i j E_{ij}^{T} =E_{ij} EijT=Eij
  • 伴随： E i j ∗ = − E i j E_{ij}^{*} =-E_{ij} Eij∗=−Eij
• 行（列）倍乘：将初等矩阵 E E E 的 第 i i i 行乘 k k k 倍
  • 逆： E i − 1 ( k ) = E i ( 1 k ) E_{i}^{-1}(k) =E_{i}(\frac{1}{k}) Ei−1(k)=Ei(k1)
  • 转置： E i T ( k ) = E i ( k ) E_{i}^{T}(k) =E_{i}({k}) EiT(k)=Ei(k)
  • 伴随： E i ∗ ( k ) = k E i ( 1 k ) E_{i}^{*}(k) =kE_{i}(\frac{1}{k}) Ei∗(k)=kEi(k1)
• 行（列）倍加：交换初等矩阵 E E E 的 第 i i i 行乘 k k k 倍加到第 j j j 行
  • 逆： E i j − 1 ( k ) = E i j ( − k ) E_{ij}^{-1}(k) =E_{ij}(-k) Eij−1(k)=Eij(−k)
  • 转置： E i j T ( k ) = E j i ( k ) E_{ij}^{T}(k) =E_{ji}(k) EijT(k)=Eji(k) 注意这里的下标交换了位置
  • 伴随： E i j ∗ ( k ) = E i j ( − k ) E_{ij}^{*}(k) =E_{ij}(-k) Eij∗(k)=Eij(−k)

初等行变化，左乘初等矩阵；初等列变化，右乘初等矩阵。左行右列

2. ​核心性质​

• 可逆性：初等矩阵均可逆，且逆矩阵仍为初等矩阵。
• 矩阵分解 ：可逆矩阵 A A A 可表示为有限个初等矩阵的乘积，即 A = P 1 P 2 ⋯ P k A = P_1 P_2 \cdots P_k A=P1P2⋯Pk。
• 秩的不变性：初等变换不改变矩阵的秩。

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考点四：矩阵的秩常用结论

1. ​基本性质​

• r ( A ) = r ( A T ) r(A) = r(A^T) r(A)=r(AT)
• r ( k A ) = r ( A ) r(kA) = r(A) r(kA)=r(A)（ k ≠ 0 k \neq 0 k=0）
• r ( A + B ) ≤ r ( A ) + r ( B ) r(A + B) \leq r(A) + r(B) r(A+B)≤r(A)+r(B)
• 相似矩阵秩相等

2. ​分块矩阵秩​

• 结论 ：
  r ( A 0 0 B ) = r ( A ) + r ( B ) r\begin{pmatrix} A & 0 \\ 0 & B \end{pmatrix} = r(A) + r(B) r(A00B)=r(A)+r(B)
• 推论 ：若 A A A 可逆，则 r ( A B ) = r ( B ) r(AB) = r(B) r(AB)=r(B)；若 B B B 可逆，则 r ( A B ) = r ( A ) r(AB) = r(A) r(AB)=r(A)。
• m a x { r ( A ) , r ( B ) } ≤ r ( A , B ) ≤ r ( A ) + r ( B ) max\{r(A),r(B)\} \leq r(A,B) \leq r(A)+ r(B) max{r(A),r(B)}≤r(A,B)≤r(A)+r(B)

3. ​矩阵乘积秩​

• r ( A B ) ≤ min ⁡ { r ( A ) , r ( B ) } r(AB) \leq \min\{r(A), r(B)\} r(AB)≤min{r(A),r(B)} 越乘秩越小
• 若 A m × n B n × l = 0 A_{m×n} B_{n×l}=0 Am×nBn×l=0 则有 r ( A ) + r ( B ) ≤ n r(A) + r(B) \leq n r(A)+r(B)≤n

4. ​其他结论

• r ( A ∗ ) = r(A^*) = r(A∗)=
  • n n n 当 r ( A ) = n r(A) = n r(A)=n 时；
  • 1 1 1 当 r ( A ) = n − 1 r(A) = n - 1 r(A)=n−1 时；
  • 0 0 0 当 r ( A ) < n − 1 r(A) < n - 1 r(A)<n−1 时；

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五、实战技巧

1. 矩阵幂计算：优先判断是否可对角化，若不可对角化则尝试找递推规律。
2. 逆矩阵验证 ：验证 A A − 1 = E AA^{-1} = E AA−1=E 或通过伴随矩阵公式计算。
3. 秩的快速判断：通过初等行变换化为阶梯形矩阵，非零行数即为秩。

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​总结 ​：矩阵的核心在于理解其结构特性（如幂、逆、秩）与变换工具（如初等变换、伴随矩阵）。掌握这些方法，可高效解决线性代数中的复杂问题！ 🚀

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