人工智能数学基础（十）—— 图论

图论作为数学的重要分支，为人工智能提供了强大的建模和分析工具。无论是社交网络分析、路径规划还是数据结构设计，图论都发挥着不可替代的作用。今天，我将带领大家深入浅出地探索图论的核心概念，并结合 Python 实例，让大家能够直观地理解和应用这些知识。

10.1 图的认识

10.1.1 图的基本概念

图是由一组顶点（或称节点）和一组边组成的数学结构。顶点代表实体，边代表实体之间的关系。图可以分为有向图和无向图。

10.1.2 图中结点的度数

在无向图中，顶点的度数是指与该顶点相连的边的数目。在有向图中，顶点的度数分为入度和出度，入度表示指向该顶点的边的数目，出度表示从该顶点出发的边的数目。

10.1.3 常见的图

• 完全图 ：每一对不同的顶点之间都有一条边相连。

• 

• 二分图 ：顶点可以分成两个不相交的集合，且同一集合内的顶点之间没有边相连。

• 

• 树 ：无环连通图。

• 

• 有向无环图（DAG） ：没有有向环的有向图。

• 

10.1.4 子图

子图是原图的一个子集，包含原图的一部分顶点和边。子图的顶点和边都来自原图。

10.1.5 图的同构

如果两个图在顶点和边的连接关系上完全相同，只是顶点的标签不同，则称这两个图为同构的。

示例（绘制简单图）

import networkx as nx
import matplotlib.pyplot as plt
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False
# 创建一个无向图
G = nx.Graph()
G.add_edges_from([(1, 2), (1, 3), (2, 3), (2, 4), (3, 4)])

# 绘制图
nx.draw(G, with_labels=True, node_color='skyblue', node_size=2000, edge_color='gray', linewidths=1, font_size=15)
plt.title('简单无向图')
plt.show()

10.2 路与回路

10.2.1 路与回路

路是指从一个顶点出发，沿着边行走所经过的顶点序列。回路是指起点和终点相同的路。

10.2.2 连通性

如果图中任意两个顶点之间都有路相连，则称该图为连通图。对于有向图，连通性分为强连通和弱连通。

10.2.3 最短路径

最短路径是指从一个顶点到另一个顶点的最短路。Dijkstra 算法和 Floyd 算法是常用的最短路径算法。

10.2.4 关键路径

关键路径是项目网络图中最长的路径，决定了项目的最短完成时间。

10.2.5 综合案例及应用

案例描述 ：在一个加权图中，求顶点 A 到其他各顶点的最短路径。

import networkx as nx
import matplotlib.pyplot as plt
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
# 创建一个加权有向图
G = nx.DiGraph()
edges = [('A', 'B', 3), ('A', 'C', 6), ('B', 'C', 4), ('B', 'D', 4), ('C', 'D', 8), ('C', 'E', 2), ('D', 'E', 3), ('D', 'F', 5), ('E', 'F', 1)]
G.add_weighted_edges_from(edges)

# 计算最短路径
shortest_paths = nx.single_source_dijkstra_path(G, 'A')
shortest_distances = nx.single_source_dijkstra_path_length(G, 'A')

# 绘制图
pos = nx.spring_layout(G)
nx.draw(G, pos, with_labels=True, node_color='skyblue', node_size=2000, edge_color='gray', linewidths=1, font_size=15)
edge_labels = nx.get_edge_attributes(G, 'weight')
nx.draw_networkx_edge_labels(G, pos, edge_labels=edge_labels)
plt.title('加权有向图及最短路径')
plt.show()

# 输出结果
print("从 A 到各顶点的最短路径：", shortest_paths)
print("从 A 到各顶点的最短距离：", shortest_distances)

10.3 图的矩阵表示

10.3.1 邻接矩阵表示

邻接矩阵是一个方阵，用于表示图中顶点之间的邻接关系。如果顶点 i 和顶点 j 之间有边相连，则邻接矩阵的元素为 1，否则为 0。对于加权图，元素为边的权重。

10.3.2 关联矩阵表示

关联矩阵用于表示图中顶点和边的关联关系。每行对应一个顶点，每列对应一条边。如果顶点与边相连，则元素为 1，否则为 0。

10.3.3 综合案例及应用

案例描述 ：用邻接矩阵表示一个无向图，并绘制其图形。

import numpy as np
import networkx as nx
import matplotlib.pyplot as plt
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
# 定义邻接矩阵
adj_matrix = np.array([[0, 1, 1, 0],
                       [1, 0, 1, 1],
                       [1, 1, 0, 1],
                       [0, 1, 1, 0]])

# 创建图
G = nx.from_numpy_array(adj_matrix)

# 绘制图
nx.draw(G, with_labels=True, node_color='skyblue', node_size=2000, edge_color='gray', linewidths=1, font_size=15)
plt.title('邻接矩阵表示的无向图')
plt.show()

10.4 欧拉图与哈密顿图

10.4.1 欧拉图

欧拉图是指存在欧拉回路的图。欧拉回路是指经过图中每条边恰好一次且回到起点的回路。判断欧拉图的条件是：无向图所有顶点的度数为偶数；有向图每个顶点的入度等于出度。

10.4.2 哈密顿图

哈密顿图是指存在哈密顿回路的图。哈密顿回路是指经过图中每个顶点恰好一次且回到起点的回路。目前没有简单的判定条件，通常通过尝试构造哈密顿回路来判断。

10.5 树

10.5.1 树的概念

树是一种无环连通图。它具有以下性质：树中的任意两个顶点之间有且仅有一条路径；树有 n-1 条边，其中 n 是顶点数。

10.5.2 生成树

生成树是包含图中所有顶点的子图，并且是一个树。构造生成树的常用算法有 Krusky 算法和 Prim 算法。

10.5.3 二叉树

二叉树是每个顶点最多有两个子树的树。二叉树具有许多重要性质，广泛应用于数据结构和算法设计。

10.5.4 综合案例及应用

案例描述 ：用 Krusky 算法构造一个连通图的最小生成树。

import networkx as nx
import matplotlib.pyplot as plt
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
# 创建一个加权无向图
G = nx.Graph()
edges = [('A', 'B', 1), ('A', 'D', 3), ('B', 'C', 2), ('B', 'D', 4), ('B', 'E', 5), ('C', 'E', 6), ('D', 'E', 7), ('D', 'F', 8), ('E', 'F', 9)]
G.add_weighted_edges_from(edges)

# 构造最小生成树
T = nx.minimum_spanning_tree(G, algorithm='kruskal')

# 绘制原图
pos = nx.spring_layout(G)
nx.draw(G, pos, with_labels=True, node_color='skyblue', node_size=2000, edge_color='gray', linewidths=1, font_size=15)
edge_labels = nx.get_edge_attributes(G, 'weight')
nx.draw_networkx_edge_labels(G, pos, edge_labels=edge_labels)
plt.title('原图')
plt.show()

# 绘制最小生成树
nx.draw(T, pos, with_labels=True, node_color='lightgreen', node_size=2000, edge_color='green', linewidths=1, font_size=15)
edge_labels = nx.get_edge_attributes(T, 'weight')
nx.draw_networkx_edge_labels(T, pos, edge_labels=edge_labels)
plt.title('最小生成树')
plt.show()

10.6 实验：最优树理论和应用

10.6.1 实验目的

掌握最优树的概念和构造方法，学会使用 Krusky 算法和 Prim 算法构造最小生成树。

10.6.2 实验要求

给定一个连通图，用 Krusky 算法和 Prim 算法分别构造其最小生成树，并比较结果。

10.6.3 实验原理

• Krusky 算法 ：将边按权重从小到大排序，依次选择权重最小且不形成环的边，直到生成树包含所有顶点。

• Prim 算法 ：从一个顶点开始，逐步加入权重最小且连接生成树和非生成树顶点的边，直到生成树包含所有顶点。

10.6.4 实验步骤

1. 绘制连通图及其邻接矩阵。

2. 使用 Krusky 算法构造最小生成树。

3. 使用 Prim 算法构造最小生成树。

4. 比较两种算法得到的最小生成树。

10.6.5 实验结果

import networkx as nx
import matplotlib.pyplot as plt
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei']
# 创建一个加权无向图
G = nx.Graph()
edges = [('A', 'B', 1), ('A', 'D', 3), ('B', 'C', 2), ('B', 'D', 4), ('B', 'E', 5), ('C', 'E', 6), ('D', 'E', 7), ('D', 'F', 8), ('E', 'F', 9)]
G.add_weighted_edges_from(edges)

# 绘制原图
pos = nx.spring_layout(G)
nx.draw(G, pos, with_labels=True, node_color='skyblue', node_size=2000, edge_color='gray', linewidths=1, font_size=15)
edge_labels = nx.get_edge_attributes(G, 'weight')
nx.draw_networkx_edge_labels(G, pos, edge_labels=edge_labels)
plt.title('原图')
plt.show()

# 使用 Krusky 算法构造最小生成树
T_kruskal = nx.minimum_spanning_tree(G, algorithm='kruskal')
nx.draw(T_kruskal, pos, with_labels=True, node_color='lightgreen', node_size=2000, edge_color='green', linewidths=1, font_size=15)
edge_labels = nx.get_edge_attributes(T_kruskal, 'weight')
nx.draw_networkx_edge_labels(T_kruskal, pos, edge_labels=edge_labels)
plt.title('Krusky 算法最小生成树')
plt.show()

# 使用 Prim 算法构造最小生成树
T_prim = nx.minimum_spanning_tree(G, algorithm='prim')
nx.draw(T_prim, pos, with_labels=True, node_color='lightcoral', node_size=2000, edge_color='coral', linewidths=1, font_size=15)
edge_labels = nx.get_edge_attributes(T_prim, 'weight')
nx.draw_networkx_edge_labels(T_prim, pos, edge_labels=edge_labels)
plt.title('Prim 算法最小生成树')
plt.show()

10.7 图论知识总结

概念	定义与说明	相关性质
图	由顶点和边组成的数学结构	分为有向图和无向图
路与回路	从一个顶点出发，沿着边行走所经过的顶点序列	回路是起点和终点相同的路
图的矩阵表示	用矩阵表示图中顶点之间的关系	邻接矩阵和关联矩阵
欧拉图	存在欧拉回路的图	无向图所有顶点度数为偶数；有向图每个顶点入度等于出度
哈密顿图	存在哈密顿回路的图	目前没有简单的判定条件
树	无环连通图	生成树是包含图中所有顶点的子图，并且是一个树

以上就是本期关于图论的全部内容啦！如果你在学习过程中有任何疑问或者想法，欢迎在评论区留言，大家一起交流探讨呀！