蓝桥杯 20. 倍数问题

倍数问题

原题目链接

题目描述

众所周知,小葱同学擅长计算,尤其擅长判断一个数是否是另一个数的倍数。但当面对多个数时,他就比较苦恼了。

现在小葱给了你 n 个数,希望你从中找出三个数,使得这三个数的 和是 K 的倍数 ,并且这个 和最大

题目保证一定存在解。

输入描述

  • 第一行包含两个正整数 nK
  • 第二行包含 n 个正整数,代表给定的数列。

数据范围:

  • 1 ≤ n ≤ 10⁵
  • 1 ≤ K ≤ 10³
  • 所有给定的整数不超过 10⁸

输出描述

输出一行一个整数,表示满足条件的最大和。

输入示例

in 复制代码
4 3
1 2 3 4

输出示例

out 复制代码
9

c++代码

cpp 复制代码
#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

typedef long long ll;

int main() {
    ll n, K, x, a, b, c, ans = 0;
    cin >> n >> K;
    vector<vector<ll>> arr(K);
    for (ll i = 0; i < n; i++) cin >> x, arr[x % K].push_back(x);
    for (ll i = 0; i < K; i++) sort(arr[i].begin(), arr[i].end());
    for (ll i = 0; i < K; i++) {
        if (arr[i].size() <= 0) continue;
        a = arr[i].back(), arr[i].pop_back();
        for (ll j = i; j < K; j++) {
            if (arr[j].size() <= 0) continue;
            b = arr[j].back(), arr[j].pop_back();
            ll val = K - i - j;
            while(val < 0) val += K;
            while(val <= K - 1) {
                if (arr[val].size() > 0) c = arr[val].back(), ans = max(ans, a + b + c);
                val += K;
            }
            arr[j].push_back(b);
        }
        arr[i].push_back(a);
    }
    cout << ans;
    return 0;
}//by wqs

题目解析

给你 n 个数和一个整数 K,从这 n 个数中选出三个数 a, b, c,要求:

  • (a + b + c) % K == 0
  • a + b + c 最大化

假设(a + b + c) % K = 0,

那么(a % K + b % K + c % K) % K = 0,

假设a % K = d, b % K = e,

根据(d+ e + c % K) % K = 0,并且数据的值都是正数

也就是说d + e + c % K = n * K(n >= 1),

也就是说c % K = n * K - d - e

那么c % K = K - d - e 或者 2 * K - d - e或者3 * K - d - e...

不要认为有很多种情况,我们看看c % K的范围,

显然,0 <= c % K <= K - 1,

也就是0 <= n * K - d - e <= K - 1,

可见在这个范围下不会有多少种情况,因为K的最大值才1000。

算法流程

枚举两个数的余数,然后计算第三个数所需的余数,根据贪心算法并在对应余数组中取最大值

1. 分类存储:

将所有数字按其对 K 取模的结果分成 K 个桶,即: arr[i] 存放所有 x 满足 x % K == i

这样做的目的,是为了快速找出所有具有相同模值的数,为后续组合提供便利。

2. 排序每个桶:

为了后续能快速取出某个模值的最大值,对每个桶排序 ,这样能轻松获取每个模值中最大的元素

3. 枚举前两个数模值 (i, j)

你遍历所有 i, j ∈ [0, K),对每一组 (i, j)

  • arr[i] 取最大值 a
  • arr[j] 取最大值 b

4. 根据前两个快速得出第三个模值k:

k = n * K - i - j(n >= 1, 0 <= k <= K - 1)

5. 特别处理下标冲突:

你保存了桶中最大的数后还要回填,因为之后还会用到这些桶。每次取出最大值后记得放回去。

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