抽象代数小述(二之前)

抽象代数小述(二之前)

by Amamiya Fuko

月泉西逝去,困于小池间

引言

夜,是风子。

整点抽象的(指代数),如果有希腊奶的概念可以看看前文,标注有重点(所以尽管跳着看)

你问标题的话,二之前就是一啦,所以正确标题为抽象代数小述(一)

参考了张禾瑞老师的《近世代数》

目录

1.集合、映射与代数运算

2.同态

集合、映射与代数运算

集合,指包含了元素的整体,被确定了的存在的整体,定在或定在们的定在,元素在这种把握中被描述为集合的元(反正这概念太基础了我发发电玩-V_V-)

暂且认为集合有着四种形式,空集与非空集,有限集与无限集。

映射 是集合的元素之间关系,如A集与B集的一一映射,描述的就是A中的每一元素都有B中的元素与之唯一对应,例如设 x ∈ A , y ∈ B , f ( x ) = y = x ∗ k ∣ k 为一常数 x\in A,y \in B,f(x)=y=x*k | k为一常数 x∈A,y∈B,f(x)=y=x∗k∣k为一常数 函数f就是一个A到B的映射 A → B = f ( A ) A\to B = f(A) A→B=f(A)

映射有着不同的形式,上面提到的一一映射是其中的一种特殊的映射。设有一映射 A → B A\to B A→B对于某一 y ∈ B y\in B y∈B而言,其逆运算可能的"x\in A"被称为逆象,而其自身,也就是y被称为象,象与逆像之间并不一一对应,甚至B中的元(元素)也并不全然作为A中的元的象。

对于某种映射,如果有,任意B中的元都作为A中的元的象,那么我们称之为满射
∀ y = f ( x ) ∣ x ∈ A , y ∈ B \forall y = f(x)|x \in A,y \in B ∀y=f(x)∣x∈A,y∈B

对于某种映射,如果有,任意B中的元的象与任意别一个B中的元的象不同,我们称之为单射
∀ f ( x ) ! = f ( y ) ∣ x , y ∈ A , x ! = y \forall f(x)!=f(y)| x,y\in A,x!=y ∀f(x)!=f(y)∣x,y∈A,x!=y

假如有一映射即是单射又是满射,则其为一一映射

变换 是一种特殊的映射,其为某一集合与其自身的映射
A → A A\to A A→A

代数运算 是一个满足封闭性的映射
A → A A \to A A→A

同态

同态是描述运算之间的关系

设A到B有映射f,A到A有运算g,B到B有运算g',则若有
f ( g ( A ) ) = g ′ ( f ( A ) ) ( A → A ) → B = ( A → B ) → B \begin{array}{rcl} f(g(A)) & = & g'(f(A)) \\ (A\to A) \to B & = & (A \to B) \to B \end{array} f(g(A))(A→A)→B==g′(f(A))(A→B)→B

则我们说这两个运算是同态的,假如映射f是满射,那么我们进一步地说这是一个同态满射 ,反之为同态单射 ,若为一一映射,则我们称其为同构

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