前缀和:leetcode974--和可被K整除的子数组

前言

1.前缀和+哈希表(+排列组合思想)

2.同余定理

3.Cpp和Java修正【负数%正数】

(num%k + k)% k

题目解析

和可被K整除的子数组:

给定一个整数数组 nums 和一个整数 k ,返回其中元素之和可被 k 整除的非空 子数组 的数目。

子数组 是数组中 连续 的部分。

本题在leetcode560"和为K的子数组"这道题上进行了扩展,

但同样是--统计一段和满足某条件的连续区间(子数组)的数目。

算法原理

暴力解法

用两层循环遍历所有子数组的情况,求和看是否满足条件。

虽然容易想,但并非毫无意义:在想暴力解法的过程中,我们会发现题目所给数组包含负数和0,不具有单调性,因此不能用双指针"滑动窗口"进行优化。那怎么办?

前缀和+哈希表

在学完前缀和以后,每当看到题目要求连续区间的和时,都应该想到前缀和,毕竟在有了前缀和之后,求某段区间的和都只需要O(1)就能完成。

那么如何用前缀和优化又是个问题。

为了使用前缀和,首先要一改暴力解法的思想:以i位置为起点遍历所有子数组。、这样我们只能求出后缀和,与前缀和完全不搭边。

那么反过来想,遍历以i位置为结尾的子数组,似乎就好起来了,既能考虑所有子数组的情况,又能使用前缀和。当有了i位置的前缀和之和,其实就不需要再一个一个遍历子数组的情况了。

因为sum[i,j] = prefix_sum[j] - prefix[i]。有了两个前缀和,就能够算出这两段前缀和之间的值。(图中抽象表示,未处理细节)

在知道要使用前缀和的情况下,再观察一下题目要求:和可被K整除的子数组。

子数组不就是sum[i,j] = prefix_sum[j] - prefix[i]这个嘛。且和能够用前缀和之差表示,再结合同余定理,就会发现找到 j 位置时,只要前面 j 前有 i 位置,满足二者的前缀和(mod)k相等,就能推出sum[i,j]这段子数组之和能被K整除,只需要把下面的逻辑逆着推上来即可。

这样,用哈希表记录下某位置之前的前缀和,结合哈希表快速查找的特性,

就可以在到 i 位置时, 查找之前满足条件的前缀和出现的次数,就是满足条件的子数组的个数。

(哈希中可以只存前缀和模K的余数及其出现的次数)

注意的细节就是,哈希表需要初始化map[0] = 1。这是因为可能某位置的前缀和就刚好满足条件,那么子数组就是该段前缀和减去一个0,需要在哈希表中找到一个为0的前缀和。换种理解就是,index在-1位置时,前缀和为0。

还有,数组中存在负数,对于取模操作,Cpp 和Java 的 [ 负数%正数 == 负数 ]

可是对K取模运算余数的范围是[0,K-1],是正数,就需要特殊处理。

对负数:(num % k)+ k ;但正数不需要啊

有一个正负取模统一表达式:(num%k + k)% k; 就行了。

代码实现

不需要真的创建一个数组存前缀和,都放到哈希表中即可。

cpp 复制代码
int subarraysDivByK(vector<int>& nums, int k) {
        int n = nums.size(), sum = 0, ct = 0;
        unordered_map<int, int> m;
        m[0]++;

        for (int e : nums) {
            sum += e;
            ct += m[(sum % k + k) % k];
            m[(sum % k + k) % k]++;
        }
        return ct;
    }

还有一种排列组合的思路,把前缀和模K都求出后放入哈希,相同的余数两两进行排列组合,也是满足条件的子数组。

cpp 复制代码
int subarraysDivByK(vector<int>& nums, int k) {
      int n = nums.size(), sum = 0, ct = 0;
      unordered_map<int, int> m;
      m[0]++;
      for(int e : nums){
        sum+=e;
        m[(sum%k+k)%k]++;
      }

      for(auto [k,v] : m){
        ct += v*(v-1)/2;
      }

      return ct;
    }
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