前缀和：leetcode974--和可被K整除的子数组

前言

1.前缀和+哈希表（+排列组合思想）

2.同余定理

3.Cpp和Java修正【负数%正数】

（num%k + k）% k

题目解析

和可被K整除的子数组：

给定一个整数数组 nums 和一个整数 k ，返回其中元素之和可被 k 整除的非空 子数组 的数目。

子数组 是数组中连续的部分。

本题在leetcode560"和为K的子数组"这道题上进行了扩展，

但同样是--统计一段和满足某条件的连续区间（子数组）的数目。

算法原理

暴力解法

用两层循环遍历所有子数组的情况，求和看是否满足条件。

虽然容易想，但并非毫无意义：在想暴力解法的过程中，我们会发现题目所给数组包含负数和0，不具有单调性，因此不能用双指针"滑动窗口"进行优化。那怎么办？

前缀和+哈希表

在学完前缀和以后，每当看到题目要求连续区间的和时，都应该想到前缀和，毕竟在有了前缀和之后，求某段区间的和都只需要O(1)就能完成。

那么如何用前缀和优化又是个问题。

为了使用前缀和，首先要一改暴力解法的思想：以i位置为起点遍历所有子数组。、这样我们只能求出后缀和，与前缀和完全不搭边。

那么反过来想，遍历以i位置为结尾的子数组，似乎就好起来了，既能考虑所有子数组的情况，又能使用前缀和。当有了i位置的前缀和之和，其实就不需要再一个一个遍历子数组的情况了。

因为sum $i,j$ = prefix_sum $j$ - prefix $i$ 。有了两个前缀和，就能够算出这两段前缀和之间的值。（图中抽象表示，未处理细节）

在知道要使用前缀和的情况下，再观察一下题目要求：和可被K整除的子数组。

子数组不就是sum $i,j$ = prefix_sum $j$ - prefix $i$ 这个嘛。且和能够用前缀和之差表示，再结合同余定理，就会发现找到 j 位置时，只要前面 j 前有 i 位置，满足二者的前缀和(mod)k相等，就能推出sum $i,j$ 这段子数组之和能被K整除，只需要把下面的逻辑逆着推上来即可。

这样，用哈希表记录下某位置之前的前缀和，结合哈希表快速查找的特性，

就可以在到 i 位置时，查找之前满足条件的前缀和出现的次数，就是满足条件的子数组的个数。

（哈希中可以只存前缀和模K的余数及其出现的次数）

注意的细节就是，哈希表需要初始化map $0$ = 1。这是因为可能某位置的前缀和就刚好满足条件，那么子数组就是该段前缀和减去一个0，需要在哈希表中找到一个为0的前缀和。换种理解就是，index在-1位置时，前缀和为0。

还有，数组中存在负数，对于取模操作，Cpp 和Java 的 $负数%正数 == 负数$

可是对K取模运算余数的范围是 $0,K-1$ ，是正数，就需要特殊处理。

对负数：（num % k）+ k ；但正数不需要啊

有一个正负取模统一表达式：（num%k + k）% k; 就行了。

代码实现

不需要真的创建一个数组存前缀和，都放到哈希表中即可。

cpp 复制代码

int subarraysDivByK(vector<int>& nums, int k) {
        int n = nums.size(), sum = 0, ct = 0;
        unordered_map<int, int> m;
        m[0]++;

        for (int e : nums) {
            sum += e;
            ct += m[(sum % k + k) % k];
            m[(sum % k + k) % k]++;
        }
        return ct;
    }

还有一种排列组合的思路，把前缀和模K都求出后放入哈希，相同的余数两两进行排列组合，也是满足条件的子数组。

cpp 复制代码

int subarraysDivByK(vector<int>& nums, int k) {
      int n = nums.size(), sum = 0, ct = 0;
      unordered_map<int, int> m;
      m[0]++;
      for(int e : nums){
        sum+=e;
        m[(sum%k+k)%k]++;
      }

      for(auto [k,v] : m){
        ct += v*(v-1)/2;
      }

      return ct;
    }