C++ 完全背包 - 技术栈

完全背包特点：属于线性DP、状态转移方程固定、时间复杂度固定O(nm2 附，这里2是平方)、需要先学习01背包

第一步，状态设计，状态（i，j）表示前i个物品恰好放入容量为j的背包（i属于 $0, n$ ，j属于 $0, m$ ）。令dp $i$ $j$ 表示状态(i, j)下该背包得到的最大价值。

第二步，状态转移方程，dp $i$ $j$ = max(dp $i-1$ $j-k\*c\[i$ ] + k*w $i$ ) (0 =< k =< j/c $i$ )，如果"第i个物品不放入容量为j的背包"，那么转态转化为求"前i-1种物品放入容量为j的背包"的问题；由于不放，所以最大价值就等于"前i-1个物品放入容量为j的背包"的最大价值，对应状态转移方程中k=0的情况，即dp $i-1$ $j$ 。如果"第i个物品放入容量为j的背包"，那么转态转化为求"前i-1种物品放入容量为j-c $i$ *k的背包"的问题；由于不放，所以最大价值就等于"前i-1个物品放入容量为j-c $i$ *k的背包"的最大价值加上放入k个第i种物品的价值，即dp $i-1$ $j-k\*c\[i$ ] + k*w $i$ 。枚举所有满足条件的k就是我们所求的"前i个物品恰好放入容量为j的背包"的最大价值了，dp $i$ $j$ = max( $放k个$ )。

完全背包是01背包的拓展，区别是他可以取0件，1件，，，k件，而01背白只能去0件，1件。如果从转态转移方程出发，可以归纳为以下的方程：

01背包（0=< k =<1）

完全背包（0=< k =<j）

代码分析：

1 基础常量定义：inf = -1 init = 0

2 最优值定义：

function opt(a, b)

if a == inf

return b

if b == inf

return a

return max(a,b)

3 核心代码

function KnapsackComplete(n, m, c $n+1$ , w $n+1$ , dp $n+1$ $m+1$ )

dp $0$ $0$ = init

for i -> (1, m)

dp $0$ $i$ = inf

for i -> (1, n)

for j -> (0, m)

dp $i$ $j$ = inf

for k -> (0, j/c $i$ )

dp $i$ $j$ = opt(dp $i$ $j$ , dp $i-1$ $j - k\*c\[i$ ] + k*w $i$ )

代码练习 1 对应蓝桥云课小明的背包2 代码见下

cpp 复制代码

#include <iostream>
using namespace std;

#define maxn 1001
#define maxv 1001
#define inf -1
#define init 0
#define vType int

vType opt(vType a, vType b){
  if(a == inf) return b;
  if(b == inf) return a;
  return a>b ? a:b;
}
void KnapsackComplete(int n, int V, int w[maxn], vType v[maxv], vType dp[maxn][maxv]){
  for(int i=1; i<=V; ++i){
    dp[0][i] = inf;
  }
  dp[0][0] = init;

  for(int i=1; i<=n; ++i){
    for(int j=0; j<=V; ++j){
      dp[i][j] = inf;
      for(int k=0; k<=j/w[i]; ++k){
        dp[i][j] = opt(dp[i][j], dp[i-1][j - k*w[i]] + k*v[i]);

      }
    }
  }
}

int n, V;
int w[maxn];
vType v[maxn];
vType dp[maxn][maxv];

int main()
{
  cin >> n >> V;
  for(int i=1; i<=n; ++i){
    cin >> w[i] >> v[i];
  }
  KnapsackComplete(n, V, w, v, dp);
  int ans = inf;
  for(int i=0; i <= V; ++i){
    ans = max(ans, dp[n][i]);
  }
  cout << ans << endl;
  // 请在此输入您的代码
  return 0;
}