LeetCode算法日记 - Day 81: 最大子数组和

目录

[1. 最大子数组和](#1. 最大子数组和)

[1.1 题目解析](#1.1 题目解析)

[1.2 解法](#1.2 解法)

[1.3 代码实现](#1.3 代码实现)

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1. 最大子数组和

https://leetcode.cn/problems/maximum-subarray/description/

给你一个整数数组 nums ，请你找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

子数组是数组中的一个连续部分。

示例 1：

输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出：6
解释：连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6 。

示例 2：

输入：nums = [1]
输出：1

示例 3：

输入：nums = [5,4,-1,7,8]
输出：23

提示：

• 1 <= nums.length <= 105
• -104 <= nums[i] <= 104

1.1 题目解析

题目本质

在一维数组中找到和最大的连续子序列，本质是"连续区间求和的最优选择"问题。

常规解法

枚举所有可能的子数组（双重循环确定起点和终点），计算每个子数组的和，取最大值。

问题分析

暴力枚举需要 O(n²) 时间复杂度（或 O(n³) 如果求和也用循环），当数组长度达到 10⁵ 时会超时。关键问题是存在大量重复计算------每次都从头累加子数组的和。

思路转折

要想高效 → 必须避免重复计算 → 动态规划。核心洞察：当遍历到位置 i 时，只需要决定"是接上前面的子数组"还是"从当前位置重新开始"。这样可以在 O(n) 时间内完成，因为每个位置只需要依赖前一个位置的状态。

1.2 解法

算法思想：定义 dp[i] 表示以 nums[i] 结尾的最大子数组和。

递推公式：dp[i] = max(dp[i-1] + nums[i], nums[i])

含义：要么延续前面的子数组（加上当前元素），要么放弃前面的（从当前元素重新开始）。

步骤拆解：

**i）**初始化 DP 数组，dp[0] 设为一个极小值作为哨兵

**ii）**遍历数组，对每个位置 i 计算 dp[i] = max(dp[i-1] + nums[i-1], nums[i-1])

**iii）**遍历 DP 数组找到最大值并返回

易错点：

• **初始化问题：**dp[0] 和 cur 不能设为 0，因为数组可能全是负数。使用 Integer.MIN_VALUE/2 避免加法溢出

• **索引偏移：**代码中 dp 数组长度为 m+1，dp[i] 对应 nums[i-1]，需要注意下标映射

• **最终结果：**不是返回 dp[m]，而是返回整个 DP 数组中的最大值，因为最大子数组可能在任意位置结束

1.3 代码实现

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int m = nums.length;
        int[] dp = new int[m + 1];
        dp[0] = Integer.MIN_VALUE / 2;  // 哨兵，避免溢出
        
        // 计算以每个位置结尾的最大子数组和
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            dp[i] = Math.max(dp[i-1] + nums[i-1], nums[i-1]);
        }
        
        // 找出所有位置中的最大值
        int cur = Integer.MIN_VALUE / 2;
        for (int i = 1; i <= m; i++) {
            cur = Math.max(cur, dp[i]);
        }
        return cur;
    }
}

复杂度分析

• **时间复杂度：O(n)，**两次遍历数组

• **空间复杂度：O(n)，**使用了 DP 数组。可优化至 O(1)，因为每次只需要前一个状态