【排序】P9127 [USACO23FEB] Equal Sum Subarrays G|普及+

本文涉及的基础知识点

排序

[USACO23FEB] Equal Sum Subarrays G

题面翻译

题目描述

注意：本题的时间限制为 3 秒，为默认时间的 1.5 倍。

FJ 给了 Bessie 一个长度为 N N N 的数组 a a a（ 2 ≤ N ≤ 500 , − 1 0 15 ≤ a i ≤ 1 0 15 2 \leq N \leq 500, -10^{15} \leq a_i \leq 10^{15} 2≤N≤500,−1015≤ai≤1015），其中所有 N ( N + 1 ) 2 \dfrac{N(N+1)}{2} 2N(N+1) 个连续子数组的和都是不同的。对于每个下标 i ∈ [ 1 , N ] i \in [1,N] i∈[1,N]，帮助 Bessie 计算最小的改变量，使得数组中存在两个不同的连续子数组的和相等。

输入格式

第一行包含一个整数 N N N，表示数组的长度。

第二行包含 a 1 , ⋯   , a N a_1,\cdots,a_N a1,⋯,aN，即数组 a a a 的元素，按顺序给出。

输出格式

对于每个下标 i ∈ [ 1 , N ] i \in [1,N] i∈[1,N]，输出一行一个整数，表示改变 a i a_i ai 的最小改变量。

样例 1 的解释

将 a 1 a_1 a1 减少 2 2 2，可以使得 a 1 + a 2 = a 2 a_1+a_2=a_2 a1+a2=a2。类似地，将 a 2 a_2 a2 增加 3 3 3，可以使得 a 1 + a 2 = a 1 a_1+a_2=a_1 a1+a2=a1。

样例 2 的解释

将 a 1 a_1 a1 增加 1 1 1 或将 a 3 a_3 a3 减少 1 1 1，可以使得 a 1 = a 3 a_1=a_3 a1=a3。将 a 2 a_2 a2 增加 6 6 6，可以使得 a 1 = a 1 + a 2 + a 3 a_1=a_1+a_2+a_3 a1=a1+a2+a3。

评分标准

• 测试点 3 3 3： N ≤ 40 N \leq 40 N≤40
• 测试点 4 4 4： N ≤ 80 N \leq 80 N≤80
• 测试点 5 − 7 5-7 5−7： N ≤ 200 N \leq 200 N≤200
• 测试点 8 − 16 8-16 8−16：无额外限制。

题目描述

Note: The time limit for this problem is 3s, 1.5x the default.

FJ gave Bessie an array a a a of length N ( 2 ≤ N ≤ 500 , − 1 0 15 ≤ a i ≤ 1 0 15 ) N(2 \le N \le 500,−10^{15} \le a_i \le 10^{15}) N(2≤N≤500,−1015≤ai≤1015) with all N ( N + 1 ) 2 \dfrac{N(N+1)}{2} 2N(N+1) contiguous subarray sums distinct. For each index i ∈ [ 1 , N ] i \in [1,N] i∈[1,N], help Bessie compute the minimum amount it suffices to change ai by so that there are two different contiguous subarrays of a with equal sum.

输入格式

The first line contains N N N.

The next line contains a 1 , ⋯   , a N a_1, \cdots ,a_N a1,⋯,aN

(the elements of a a a, in order).

输出格式

One line for each index i ∈ [ 1 , N ] i \in [1,N] i∈[1,N].

样例 #1

样例输入 #1

2
2 -3

样例输出 #1

2
3

样例 #2

样例输入 #2

3
3 -10 4

样例输出 #2

1
6
1

提示

Explanation for Sample 1

Decreasing a 1 a_1 a1 by 2 2 2 would result in a 1 + a 2 = a 2 a_1+a_2=a_2 a1+a2=a2. Similarly, increasing a 2 a_2 a2 by 3 3 3 would result in a 1 + a 2 = a 1 a_1+a_2=a_1 a1+a2=a1.

Explanation for Sample 2

Increasing a1 or decreasing a 3 a_3 a3 by 1 1 1 would result in a 1 = a 3 a_1=a_3 a1=a3. Increasing a 2 a_2 a2 by 6 6 6 would result in a 1 = a 1 + a 2 + a 3 a_1=a_1+a_2+a_3 a1=a1+a2+a3.

SCORING

• Input 3 3 3: N ≤ 40 N \le 40 N≤40
• Input 4 4 4: N ≤ 80 N \le 80 N≤80
• Inputs 5 − 7 5-7 5−7: N ≤ 200 N \le 200 N≤200
• Inputs 8-16: No additional constraints.

二分查找 前缀和 线段树（思路过于复杂，太难）

任意两个区间[l1,r1]和[l2,r2]，l1<=l2，l1<=r1l2<=r2。

情况一：两个区间无交叉。即r1 < l2。    ⟺    \iff ⟺ [l1,r1]之和等于[l2,r2]之和。

情况二：两个区间有包括关系。如：l1 <= l2 <= r2 <=l2，    ⟺    \iff ⟺ a,区间[l1,l2]和[r2,l2]之和为0。b,或一个区间位0，令外一个区间不存在。由于本题所有区间和不存在，故只能是情况a。

情况三：两个区间交叉。    ⟺    \iff ⟺ [l1,l2]之和等于[r1,r2]。

情况三和情况一等效。

情况一和情况三，可以分成a,修改[l1,r1];b，修改[l2,r2]。

，x=区间2的和-区间1的和。将a[l2...r2]任意元素减少x，就相等了。

线段树[i]记录 修改a[i]可以让两个区间相等的最少修改量。

两层循环l2,r2

有序集合s记录所有区间[l1,r1]的前缀和。r1 < l2。

sum = preSum[r2+1]-preSum[l2]。

auto it = s.lower(sum)

x = min(it-sum,sum- (--it))

l2,r2\]的最小值修改为x。 **时间复杂度**：O(nnlog(nn)) ### 关于树状数组 最大值树状数组，我只有单点修改的模板，所以无法使用树状数组。 ### 未完成代码 ```cpp #include #include #include #include

j从0到大枚举v[j]

p1记录上一个包括a[i]的v[j1].区间和，默认值-1e18

p0记录上一个包括不a[i]的v[j1].区间和，默认值-1e18

如果v[j]包括a[i]，则ans = min(abs(v[i]区间和-p0)

如果v[j]不包括a[i]，则ans = min(abs(v[i]区间和-p1)

代码

#include <iostream>
#include <sstream>
#include <vector>
#include<map>
#include<unordered_map>
#include<set>
#include<unordered_set>
#include<string>
#include<algorithm>
#include<functional>
#include<queue>
#include <stack>
#include<iomanip>
#include<numeric>
#include <math.h>
#include <climits>
#include<assert.h>
#include<cstring>
#include<list>

#include <bitset>
using namespace std;

template<class T1, class T2>
std::istream& operator >> (std::istream& in, pair<T1, T2>& pr) {
	in >> pr.first >> pr.second;
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) ;
	return in;
}

template<class T1, class T2, class T3, class T4 >
std::istream& operator >> (std::istream& in, tuple<T1, T2, T3, T4>& t) {
	in >> get<0>(t) >> get<1>(t) >> get<2>(t) >> get<3>(t);
	return in;
}

template<class T = int>
vector<T> Read() {
	int n;
	scanf("%d", &n);
	vector<T> ret(n);
	for(int i=0;i < n ;i++) {
		cin >> ret[i];
	}
	return ret;
}

template<class T = int>
vector<T> Read(int n) {
	vector<T> ret(n);
	for (int i = 0; i < n; i++) {
		cin >> ret[i];
	}
	return ret;
}

class Solution {
		public:
			vector<long long> Ans(vector<long long>& a) {
				const int N = a.size();				
				vector<long long> preSum = { 0 };
				for (const auto& ii : a) {
					preSum.emplace_back(ii + preSum.back());
				}
				vector<tuple<long long, int, int>> v;
				for (int left = 0; left < N; left++) {
					for (int r = left; r < N; r++) {
						v.emplace_back(preSum[r + 1] - preSum[left], left, r);
					}
				}
				sort(v.begin(), v.end());				
				vector<long long> ans(N,LLONG_MAX/2);
				for (int i = 0; i < N; i++) {
					long long pre0 = -1e18;
					auto pre1 = pre0;
					for (const auto& [sum, left, r] : v) {
						if ((left <= i) && (i <= r)) {
							ans[i] = min(ans[i], sum - pre0);
							pre1 = sum;
						}
						else {
							ans[i] = min(ans[i], sum - pre1);
							pre0 = sum;
						}
					}
				}
				return ans;
			}
		};

int main() {
#ifdef _DEBUG
	freopen("a.in", "r", stdin);
#endif // DEBUG	
	int n;
	cin >> n;
	auto c = Read<long long>(n);
	auto res = Solution().Ans(c);
#ifdef _DEBUG		
	//printf("K=%d", K);
	//Out(b, "b=");
	//Out(c, "c=");
#endif // DEBUG	
	for (const auto& i : res) {
		printf("%lld\r\n",i);
	}
	return 0;
}

单元测试

vector<long long> a;
		TEST_METHOD(TestMethod11)
		{
			a = { 2,-3};
			auto res = Solution().Ans(a);
			AssertEx({ 2,3 }, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod12)
		{
			a = { 3,-10,4 };
			auto res = Solution().Ans(a);
			AssertEx({ 1,6,1 }, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod13)
		{
			a = { (long long)1e15,(long long)1e15 };
			auto res = Solution().Ans(a);
			AssertEx({ 0,0 }, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod14)
		{
			a = { (long long)-1e15,(long long)1e15-1 };
			auto res = Solution().Ans(a);
			AssertEx({ (long long)1e15,(long long)1e15-1 }, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod15)
		{
			a = { 1001,2000 };
			auto res = Solution().Ans(a);
			AssertEx({ 999,999 }, res);
		}
		TEST_METHOD(TestMethod16)
		{
			a = { 1001,2000,4000 };
			auto res = Solution().Ans(a);
			AssertEx({ 999,999,999 }, res);
		}

扩展阅读

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测试环境

操作系统：win7 开发环境： VS2019 C++17

或者 操作系统：win10 开发环境： VS2022 C++17

如无特殊说明，本算法用**C++**实现。