MFOCUSS算法MATLAB实现：稀疏信号重构

MFOCUSS(Multi-channel FOCal Underdetermined System Solver)是一种高效的稀疏信号重构算法，特别适用于压缩感知和源定位应用。

算法原理

MFOCUSS是一种迭代重加权最小二乘算法，通过动态调整权重矩阵来逼近L₀范数最小化问题。其核心迭代公式为：

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X(k+1) = diag(w(k)) * Aᵀ * [A * diag(w(k)) * Aᵀ]⁺ * Y
wᵢ(k+1) = (|xᵢ(k)| + ε)^(-γ/2)

其中：

X是待重构的信号矩阵
A是测量矩阵
Y是观测数据
w是权重向量
γ是遗忘因子(通常取0.5-0.8)
ε是小常数(防止除零错误)

MATLAB代码实现

主函数：mfocuss.m

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function [X_est, residual_norm, iter] = mfocuss(Y, A, lambda, gamma, max_iter, tol)
% MFOCUSS: Multi-channel FOCal Underdetermined System Solver
% 稀疏信号重构算法
%
% 输入参数:
%   Y: 观测数据 (m × p)
%   A: 测量矩阵 (m × n)
%   lambda: 正则化参数 (默认0.01)
%   gamma: 指数参数 (默认0.7)
%   max_iter: 最大迭代次数 (默认100)
%   tol: 收敛容差 (默认1e-6)
%
% 输出参数:
%   X_est: 重构的信号 (n × p)
%   residual_norm: 每次迭代的残差范数
%   iter: 实际迭代次数

% 参数默认值设置
if nargin < 6, tol = 1e-6; end
if nargin < 5, max_iter = 100; end
if nargin < 4, gamma = 0.7; end
if nargin < 3, lambda = 0.01; end

[m, n] = size(A);
[m, p] = size(Y);

% 初始化变量
X = zeros(n, p);        % 信号估计
W = eye(n);             % 权重矩阵
residual_norm = zeros(max_iter, 1); % 存储残差范数

% 主迭代循环
for iter = 1:max_iter
    % 保存上一次估计值
    X_prev = X;
    
    % 更新权重矩阵
    W_diag = diag(W);
    W_diag_inv = 1 ./ (sqrt(W_diag) + eps);
    W_inv = diag(W_diag_inv);
    
    % 计算中间矩阵
    AW = A * W_inv;
    P_A = AW / (AW' * AW + lambda * eye(n));
    
    % 更新信号估计
    X = W_inv * A' * P_A * Y;
    
    % 更新权重矩阵 (MFOCUSS核心)
    W_diag_new = abs(diag(X)).^(-gamma);
    W = diag(W_diag_new);
    
    % 计算残差
    residual = Y - A * X;
    residual_norm(iter) = norm(residual, 'fro');
    
    % 检查收敛条件
    if iter > 1 && norm(X - X_prev, 'fro') < tol * norm(X, 'fro')
        break;
    end
end

% 截断未使用的迭代
iter = min(iter, max_iter);
residual_norm = residual_norm(1:iter);

end

测试函数：test_mfocuss.m

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function test_mfocuss()
% TEST_MFOCUSS 测试MFOCUSS算法的性能
% 生成测试数据并执行重构

% 参数设置
n = 200;    % 信号维度
m = 80;     % 测量数量
k = 10;     % 稀疏度（非零元素数量）
p = 1;      % 信号通道数

% 生成稀疏信号
X_true = zeros(n, p);
pos = randperm(n, k);
X_true(pos, :) = randn(k, p);

% 生成测量矩阵 (高斯随机矩阵)
A = randn(m, n) / sqrt(m);

% 生成观测数据
Y = A * X_true;

% MFOCUSS参数
lambda = 0.01;   % 正则化参数
gamma = 0.7;     % 指数参数
max_iter = 100;  % 最大迭代次数
tol = 1e-6;      % 收敛容差

% 执行MFOCUSS重构
[X_est, residual_norm, iter] = mfocuss(Y, A, lambda, gamma, max_iter, tol);

% 显示结果
disp(['实际迭代次数: ', num2str(iter)]);
disp(['最终残差范数: ', num2str(residual_norm(end))]);

% 计算重构误差
recon_error = norm(X_est - X_true, 'fro') / norm(X_true, 'fro');
disp(['相对重构误差: ', num2str(recon_error)]);

% 可视化结果
visualize_results(X_true, X_est, residual_norm, iter);
end

可视化函数：visualize_results.m

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function visualize_results(X_true, X_est, residual_norm, iter)
% VISUALIZE_RESULTS 可视化MFOCUSS重构结果

figure;

% 原始信号和重构信号对比
subplot(2, 2, 1);
stem(X_true, 'b', 'MarkerSize', 4, 'LineWidth', 1.5);
hold on;
stem(X_est, 'r', 'MarkerSize', 4, 'LineWidth', 1.5);
title('原始信号 vs 重构信号');
xlabel('索引');
ylabel('幅度');
legend('原始信号', '重构信号');
grid on;

% 重构误差分布
subplot(2, 2, 2);
error = X_est - X_true;
stem(error, 'k', 'MarkerSize', 4, 'LineWidth', 1.5);
title('重构误差');
xlabel('索引');
ylabel('误差');
grid on;

% 残差范数下降曲线
subplot(2, 2, 3);
semilogy(1:iter, residual_norm, 'b-o', 'LineWidth', 1.5, 'MarkerSize', 6);
title('残差范数下降曲线');
xlabel('迭代次数');
ylabel('残差范数 (log scale)');
grid on;

% 权重分布变化
subplot(2, 2, 4);
% 此处简化展示，实际应用中可记录权重变化
bar([mean(abs(X_true)), mean(abs(X_est))]);
set(gca, 'XTickLabel', {'原始信号', '重构信号'});
title('平均幅度比较');
ylabel('平均幅度');
grid on;

sgtitle('MFOCUSS算法重构结果');
end

使用示例

matlab 复制代码

% 运行测试函数
test_mfocuss();

% 或直接使用算法
% 生成测试数据
n = 200; m = 80; k = 10;
X_true = zeros(n, 1);
pos = randperm(n, k);
X_true(pos) = randn(k, 1);
A = randn(m, n)/sqrt(m);
Y = A*X_true;

% 设置参数
lambda = 0.01;
gamma = 0.7;
max_iter = 100;
tol = 1e-6;

% 执行重构
[X_est, residual_norm, iter] = mfocuss(Y, A, lambda, gamma, max_iter, tol);

% 显示结果
disp(['迭代次数: ', num2str(iter)]);
disp(['重构误差: ', num2str(norm(X_est-X_true)/norm(X_true))]);

参考代码稀疏重构matlab代码 www.youwenfan.com/contentcsm/82858.html

主要特点

高效稀疏重构：通过迭代重加权机制逼近L₀范数最小化
多通道支持：可同时处理多个信号通道(p > 1)
鲁棒性强：对噪声和非精确稀疏信号具有良好适应性
参数灵活：可通过调整γ平衡稀疏性和数据保真度

典型应用场景

压缩感知：从少量测量中恢复稀疏信号
源定位：阵列信号处理中的DOA估计
图像重建：MRI、CT等医学成像
信道估计：无线通信系统中的信道冲激响应估计

参数调整指南

γ (gamma)：控制权重更新的激进程度推荐范围：0.5-0.8 较小值：更强的稀疏性约束较大值：更接近最小二乘解
λ (lambda)：正则化参数，防止过拟合推荐范围：0.001-0.1 较大值：增强平滑性，可能损失细节较小值：更接近原始问题
容差 (tol)：收敛判断阈值推荐范围：1e-4到1e-8 较小值：更高精度但更多迭代