高中数学教师资格面试试讲稿：《直线的位置关系（例2）》
一、导入（约1.5分钟）
师： 同学们，大家好！请坐。
在上节课中，我们已经学习了直线的一般式方程 ( Ax + By + C = 0 )，并且知道两条直线在平面上有三种位置关系：相交、平行、重合。那么，如何通过直线的方程来判断它们的位置关系呢？
今天，我们就通过一个具体的例题来探讨这个问题------《直线的位置关系（例2）》。
二、新授（约5分钟）
师： 请同学们看黑板，例2给出了三对直线方程，需要我们判断它们的位置关系，如果相交，还要求出交点坐标。
我们先看第一小题：
l_1: x-y=0, \\quad l_2: 3x+3y-10=0
师： 大家回想一下，我们怎样判断两条直线的位置关系？
生： 解方程组。
师： 很好。如果方程组有唯一解，说明两条直线相交；如果无解，说明平行；如果两个方程等价，说明重合。
那么，我们一起来解这个方程组：
\\begin{cases} x-y=0, \\ 3x+3y-10=0 \\end{cases}
师： 由第一个方程得 ( x = y )，代入第二个方程：
( 3y + 3y - 10 = 0 )
( 6y = 10 )
( y = \frac{5}{3} )，所以 ( x = \frac{5}{3} )
因此，它们相交，交点坐标为 ( M\left(\frac{5}{3}, \frac{5}{3}\right) )。
师： 接下来看第二小题：
l_1: 3x-y+4=0, \\quad l_2: 6x-2y-1=0
师： 我们同样解方程组：
① ( 3x - y + 4 = 0 )
② ( 6x - 2y - 1 = 0 )
为了消去 ( y )，将①乘以2：
( 6x - 2y + 8 = 0 )
减去②：( (6x - 2y + 8) - (6x - 2y - 1) = 0 )
得到 ( 9 = 0 )，这显然矛盾。
所以方程组无解，两条直线平行。
师： 再看第三小题：
l_1: 3x+4y-5=0, \\quad l_2: 6x+8y-10=0
解方程组：
① ( 3x + 4y - 5 = 0 )
② ( 6x + 8y - 10 = 0 )
将①乘以2：( 6x + 8y - 10 = 0 )，与②完全一样。
这说明两个方程表示同一条直线，所以两条直线重合。
师： 通过这三个例子，我们可以总结出判断两条直线位置关系的一般方法吗？
生： 解方程组看解的个数。
师： 非常好。我们可以从方程组解的情况来判断：
- 有唯一解 → 相交
- 无解 → 平行
- 无穷多解（方程等价） → 重合
三、巩固（约2分钟）
师： 现在，请大家快速判断以下两对直线的位置关系：
(1) ( l_1: 2x + y - 3 = 0 )，( l_2: 4x + 2y - 6 = 0 )
(2) ( l_1: x - 2y = 1 )，( l_2: 2x - 4y = 3 )
（学生思考后回答，教师点评）
师： 第一对直线，第二个方程是第一个方程的2倍，所以它们重合；第二对直线，第二个方程是第一个方程的2倍再减1，无解，所以平行。
大家掌握得很好。
四、小结（约1分钟）
师： 今天我们通过例2学习了如何通过解方程组判断两条直线的位置关系：
- 方程组有唯一解 → 相交
- 方程组无解 → 平行
- 方程组两个方程等价 → 重合
这种方法不仅直观，而且适用于所有直线方程，希望大家熟练掌握。
五、作业（约0.5分钟）
- 完成教材相关练习题；
- 思考：除了解方程组，是否还可以通过直线的斜率来判断位置关系？如果可以，怎样判断？
- 预习下一节：点到直线的距离公式。
板书设计
直线的位置关系（例2）
一、判断方法：解方程组
- 唯一解 → 相交
- 无解 → 平行
- 无穷解（等价） → 重合
二、例2解答：
(1)
x - y = 0
3x + 3y - 10 = 0
解：x = 5/3, y = 5/3
→ 相交，M(5/3, 5/3)
(2)
3x - y + 4 = 0
6x - 2y - 1 = 0
①×2－②：9=0（矛盾）
→ 平行
(3)
3x + 4y - 5 = 0
6x + 8y - 10 = 0
①×2 = ②
→ 重合师： 好，今天的课就到这里。同学们再见！
题本如下：
