【数据结构】考研408|数据结构高分堡垒：攻克红黑树五大性质与适度平衡思想

红黑树的定义与性质

导读
一、基本概念
- [1.1 定义与性质](#1.1 定义与性质)
- [1.2 重要概念](#1.2 重要概念)
二、重要推论
- [2.1 推论1](#2.1 推论1)
- - 两种计算路径长度的方法
  - 插入法
- [2.2 推论2](#2.2 推论2)
结语

导读

大家好，很高兴又和大家见面啦！！！

在前面的内容中我们已经学习了两种树形查找结构：

BST ：二叉排序树，其可以是一棵空树，也可以是满足以下条件的树：
- 若左子树非空，则左子树上所有节点的值均小于根节点
- 若右子树非空，则右子树上所有节点的值均大于根节点
- 其左右子树也分别是一棵二叉排序树
AVL ：平衡二叉树，其是一棵能够进行自平衡旋转的 BST

为了避免 BST 的树高增长的过快而导致其查找效率降低，因此引入了能够将左右子树的高度差控制在 − 1 ∼ 1 -1 \sim 1 −1∼1 之间的 AVL；

AVL 通过判断树的 平衡因子，以此来决定是否需要进行平衡旋转：

当 平衡因子 不在 − 1 ∼ 1 -1 \sim 1 −1∼1 这个范围内时，则说明该树已经失衡，需要通过自平衡旋转使其恢复平衡

正因如此，当我们进行频繁的插入或删除操作时，就很容易破坏 AVL 的平衡特性，而导致其需要进行频繁的平衡旋转操作；

为了优化这种情况，于是我们又再一次引入了一种新的自平衡排序树------ 红黑树。

那什么是 红黑树 呢？相比于 AVL 其又有哪些优势呢？从今天的内容开始，我们将会逐步揭开 红黑树 的神秘面纱；

下面就让我们一起进入今天的内容；

一、基本概念

1.1 定义与性质

红黑树 （Red-Black Tree, RBT ）是一种满足如下 红黑性质 的 BST：

每个结点或是红色，或是黑色
根结点是黑色
叶结点 （虚构的外部节点、NULL 结点）都是黑色
不存在两个相邻的 红结点 （红结点的父结点与孩子结点均为黑色）
对每个结点，从该结点出发，到任意叶结点的简单路径上，所含的黑结点的数量相同

上述的 五大基本性质 与定义我们可以将其总结为十二个字：

左根右 ：RBT 是一种 BST ，满足左子树 ≤ 根节点 ≤ 右子树左子树 \leq 根节点 \leq 右子树左子树≤根节点≤右子树
根叶黑：根结点、叶结点一定是黑色
黑路同：从任一结点出发，到达任一空叶结点的路径上经过的黑结点数量都相同
不红红：任何一条查找路径上不能连续出现两个红结点

1.2 重要概念

黑高：一个结点的黑高是指从该结点出发（不含该结点）到达任一空叶结点的路径上黑结点总数
叶结点 ：在 RBT 中，"叶结点"通常指"失败结点 "（又名：空叶结点/NULL结点/外部结点）

下面我们就来通过一棵红黑树来进一步说明这些概念：
6
bh = 2 2
bh = 1 NULL
bh = 0 NULL
bh = 0 15
bh = 2 11
bh = 1 18
bh = 1 8
bh = 1 14
bh = 1 NULL
bh = 0 NULL
bh = 0 NULL
bh = 0 NULL
bh = 0 NULL
bh = 0 20
bh = 1 NULL
bh = 0 NULL
bh = 0

在上图中的这棵 RBT 中，其 根结点 与 叶结点 一定是黑色，并且这些 叶结点 一定是 NULL 结点；

对于任一结点，其黑高指的是从该节点开始，到任一 叶结点 的路径上，不包含该结点的黑结点数量：

根结点 6 ，其到任一 叶结点 的路径上都会包含2个黑结点，因此其黑高为 2：
- 6 ---> 2 ---> NULL ，包含除结点 6 外的两个黑结点：2 和 NULL
- 6 ---> 15 ---> 11 ---> 8 ---> NULL ，包含除了结点 6 外的两个黑结点：11 和 NULL
结点 2 ，其到任一 叶结点 的路径上都会包含1个黑结点，因此其黑高为 1 ：
- 2 ---> NULL ，包含除结点 2 外的一个黑结点：NULL

对于结点 6 而言，其左子树之所以为黑，是因为其右子树 15 的黑高为 2 ，为了满足 黑路同 ，因此结点 2 只能为黑；

若我们将 2 变为红色，则会导致从结点 6 出发，到左子树中的任一叶结点，与到右子树中的任一叶结点所包含的黑结点数不一致；
6
bh_l = 1
bh_r = 2
bh_l != bh_r 2
bh = 1 NULL
bh = 0 NULL
bh = 0 15
bh = 2 11
bh = 1 18
bh = 1 8
bh = 1 14
bh = 1 NULL
bh = 0 NULL
bh = 0 NULL
bh = 0 NULL
bh = 0 NULL
bh = 0 20
bh = 1 NULL
bh = 0 NULL
bh = 0

因此结点 2 只能为黑；

二、重要推论

从 RBT 的 五大基本性质 中，我们可以得到 RBT 的三条 重要推论：

从根结点到叶结点的最长路径不大于最短路径的2倍
有n个内部结点的红黑树高度 h < = 2 l o g 2 ( n + 1 ) h<=2log_2(n+1) h<=2log2(n+1)
新插入红黑树中的结点初始着为红色

今天我们需要重点介绍前两条推论；

2.1 推论1

当从根结点出发，到任一叶结点的简单路径最短时，这条路径上的结点必然都是黑色，如最短简单路径：6 --> 2 ---> NULL

当某条路径最长时，这条路径必然是由黑结点与红结点相间构成，如：6 ---> 15 ---> 11 ---> 14 ---> NULL

可以看到这两条路径的长度分别为：3 和 5 ，而 5 < 3 ∗ 2 5 < 3 * 2 5<3∗2 ；

若我们在最长路径中插入一个结点使其长度变为最短路径的两倍，即最长路径长度变为：6 ，那么根据红黑性质------不红红 与 根叶黑 ，对应的路径上其结点的颜色一定是：黑 ---> 红 ---> 黑 ---> 红 ---> 黑 ---> 黑 ，其根结点的黑高为： bh = 3 ；
最短路径保持不变，即最短路径长度为：3 ，并且该路径上的结点均为黑色，即：黑 ---> 黑 ---> 黑，其根结点的黑高为：bh = 2
显然此时的最短路径与最长路径，其根结点不满足红黑性质------黑路同 ，因此我们可以得到结论：从根结点到叶结点的最长路径 一定小于 最短路径的2倍

两种计算路径长度的方法

这里有朋友可能会好奇，为什么这里的性质说的是 不大于 而我们得到的结论是 一定小于？

对于这个问题，我给出的解释是：我这里给出的实例所计算路径长度的方法与推论1的表述是不一致的：

方法一：计算完整路径长度，即从根结点到外部结点的总长度
方法二：计算内部路径长度，即从根结点到内部叶结点的总长度

前面我所展示的路径长度计算方法使用的是方法一，因此我们会得出 严格小于 这个结论；

当我们采用方法二进行计算时，那么其最短路径长度与最长路径长度分为为：

最短路径：6 ---> 2 ，长度为 2
最长路径：6 ---> 15 ---> 11 ---> 14 ，长度为 4

可以看到此时的最长路径长度就与最短路径长度的两倍相等；

因此 推论1 的表述是以方法二的方式计算路径长度得出的结论，而 严格小于 也属于 不大于 的范畴，所以，我们如果通过方法一的方式计算路径长度，我们同样也可以说 不大于；

希望大家能够准确辨别 空叶结点 与 内部叶结点 这二者的区别，切记不能将二者混为一谈！！！

插入法

推论1的验证，我们还有一个更简便的方法------插入法；

这里我们以下图进行简单的说明：
黑黑黑

在这条仅由黑色块组成的路径中，我们需要插入红色块，并且保证该路径的起点与终点为黑色，且插入的红色块不能连续，那么我们能够插入的红色块最多只有2块：
黑黑黑红红

当我们去掉终点的黑色块后，我们不难发现，这时的红色块与黑色块的数量是相同的：
黑黑红红

每个黑色块后都紧跟一个红色块，这样我们就能得到以下结论：

当计算终点黑色块时，红色块的总数比黑色块少 1
当不计算终点黑色块时，红色块的总数与黑色块相等

因此对于最短路径长度为 N N N 的 RBT ，其最长路径长度为：

计算终点的空叶结点时，最长路径长度为 2 ∗ N − 1 2 * N - 1 2∗N−1
不计算终点的空叶结点时，最长路径长度为 2 ∗ N 2 * N 2∗N

这也进一步验证了推论1：

从根结点到叶结点的最长路径不大于最短路径的 2 2 2 倍

2.2 推论2

由推论1可知，在红黑树中，其最长路径所包含的红结点是最多的，且不管是用方法一计算长度还是方法二计算长度，其红结点的数量一定不会超过黑结点的数量，即对于长度为 2N 的最长路径：

由方法一计算得出：其红结点的数量一定是 N - 1 ，黑结点的数量一定是 N + 1
由方法二计算得出：其红结点的数量一定是 N，黑结点的数量一定是 N

当我们只分析 内部结点 时，即采取 方法二 的方式计算一条路径的长度，那么对于 n 个内部结点的红黑树，其树高为 h ，这也就表明该 RBT 的最长路径长度为 h ；

对于一棵 RBT 而言，当其最长路径中的红结点数量最多时，其黑高最小；

在这棵 RBT 中，其仅计算内部结点的最长路径长度为 h ，这样我们就能得到红结点最多时，其红黑结点的数量均为 h 2 \frac{h}{2} 2h ；

而我们要计算根结点的黑高时，我们需要去掉根节点 ，并加上路径的终点------空叶结点 ，这也就是说，根结点的黑高至少为 h 2 \frac{h}{2} 2h ；

由二叉树的性质我们可知，对于结点数量为 n n n ，树高为 h h h 的二叉树，其结点数量 n n n 与树高 h h h 之间的关系为：

满二叉树时， n n n 最大， n = 2 h − 1 n = 2^{h} - 1 n=2h−1
只存在一条路径时， n n n 最小， n = h n = h n=h

在 RBT 中，其内部结点数 n n n 与其黑高 b h bh bh 之间的关系为： n ≥ 2 b h − 1 n \geq 2^{bh} - 1 n≥2bh−1 ，该结论我们可以通过 数学归纳法 进行证明；

内部结点数与黑高关系证明

由 分治思想 我们可以得到，RBT 的内部总结点数是由三部分组成：

根节点
左子树的内部结点总数
右子树的内部结点总数

因此我们要求 RBT 的内部结点总数 n n n 就需要获取其左右子树中的结点总数；

假设对于一棵 RBT ，其任一结点 x x x 的黑高为 b h x bh_x bhx ，以该结点为根的子树的内部结点总数为 n x n_x nx ；

当该结点为 空叶结点 时，其黑高 b h x = 0 bh_{x} = 0 bhx=0 ，其内部结点数为： n x = 2 b h x − 1 = 2 0 − 1 = 1 − 1 = 0 n_{x} = 2^{bh_{x}} - 1 = 2^0 - 1 = 1 - 1 = 0 nx=2bhx−1=20−1=1−1=0，此时结论成立；

在 RBT 中，其任一结点 x x x 的左右子树的黑高至少为： b h x − 1 bh_{x} - 1 bhx−1

这是因为当结点 x x x 的子树根结点为黑结点时，其子树的黑高为： b h x − 1 bh_{x}- 1 bhx−1 ；
bh = 2 bh = 1 bh = 1 NULL
bh = 0 NULL
bh = 0 NULL
bh = 0 NULL
bh = 0

当结点 x x x 的子树根结点为红结点时，其子树的黑高为： b h x bh_{x} bhx；
bh = 1 bh = 1 bh = 1 NULL
bh = 0 NULL
bh = 0 NULL
bh = 0 NULL
bh = 0

因此我们可以假设：任一结点 x x x 其左右子树的内部结点数量为：

n x l ≥ 2 b h x − 1 − 1 n x r ≥ 2 b h x − 1 − 1 n_{x_l} \geq 2^{bh_x - 1} - 1 \\ n_{x_r} \geq 2^{bh_x - 1} - 1 nxl≥2bhx−1−1nxr≥2bhx−1−1

那么对于以结点 x x x 为根的子树，其内部结点数量 n x n_x nx 为：

n x = n x l + n x r + 1 n x ≥ 2 b h x − 1 − 1 + 2 b h x − 1 − 1 + 1 n x ≥ 2 ∗ 2 b h x − 1 − 1 n x ≥ 2 b h x − 1 \begin{align*} n_x &= n_{x_l} + n_{x_r} + 1 \\ n_x &\geq 2^{bh_x - 1} - 1 + 2^{bh_x - 1} - 1 + 1 \\ n_x &\geq 2 * 2^{bh_x - 1} - 1 \\ n_x &\geq 2^{bh_x} - 1 \end{align*} nxnxnxnx=nxl+nxr+1≥2bhx−1−1+2bhx−1−1+1≥2∗2bhx−1−1≥2bhx−1

推论2的证明

在前面我们已经证明了，一棵高度为 h h h 的 RBT ，其黑高 b h ≥ h 2 bh \geq \frac{h}{2} bh≥2h ；

现在我们只需要将黑高 b h bh bh 带入到内部结点 n n n 与黑高 b h bh bh 的公式 n ≥ 2 b h − 1 n \geq 2^{bh} - 1 n≥2bh−1 中，就可以得到推论2：

n ≥ 2 b h − 1 n ≥ 2 h 2 − 1 n + 1 ≥ 2 h 2 log ⁡ 2 ( n + 1 ) ≥ h 2 2 ∗ log ⁡ 2 ( n + 1 ) ≥ h \begin{align*} n &\geq 2^{bh} - 1 \\ n &\geq 2^{\frac{h}{2}} - 1 \\ n + 1 &\geq 2^{\frac{h}{2}} \\ \log_2 (n + 1) &\geq \frac{h}{2} \\ 2 * \log_2 (n + 1) &\geq h \end{align*} nnn+1log2(n+1)2∗log2(n+1)≥2bh−1≥22h−1≥22h≥2h≥h

当一棵 RBT 的黑高为 b h = h bh = h bh=h 时，其对应的树高为与内部结点数分别为：

当最长路径中不存在红结点时，树高最小为 h h h ，对应的内部结点数最少，为 2 h − 1 2^h - 1 2h−1
当最长路径中红结点数量最多时，树高最大为 2 h 2h 2h ，对应的内部结点数最大，为 2 2 h − 1 2^{2h} - 1 22h−1

可见，RBT 的 适度平衡 ，由 AVL 的 高度平衡 ，降低到了 任一结点左右子树的高度，相差不超过 2 2 2 倍。这种调整同时也降低了动态操作时的调整频率。

RBT与AVL

对于一棵动态查找树，若插入和删除操作比较少，查找操作比较多，则采用 AVL 比较合适，否则采用 RBT 比较合适。

由于维护 AVL 这种 高度平衡 所付出的代价比获得的效益大的多，因此在实际应用中，RBT 的应用更为广泛，如 C++ 中的 map/set 、JAVA 中的 TreeMap/TreeSet 就是用 RBT 实现的。

结语

通过本文的学习，我们系统性地探讨了红黑树 （Red-Black Tree, RBT）的核心定义与关键性质。

红黑树作为一种自平衡的二叉查找树，通过其独特的五大性质确保了树的近似平衡：

根叶黑：根结点与叶结点（空叶结点）均为黑
不红红：不存在连续的两个红结点
黑路同：从任一结点 x x x 出发，到达任一叶结点的简单路径上的黑结点数量相同

与AVL树对高度平衡的严格要求不同，红黑树以"适度平衡"换取了在频繁插入删除场景下更少的旋转操作，这使得它的实际应用更为广泛，如C++ STL中的map/set、Java的TreeMap/TreeSet

📌 核心知识点回顾

最长路径不超过最短路径的两倍
- 这一特性源于"红结点不相邻"和"黑路同"的约束，保证了红黑树不会退化为近似链表的形态
树高 h ≤ 2 log ⁡ 2 ( n + 1 ) h \leq 2 \log_2(n+1) h≤2log2(n+1)
- 此性质决定了红黑树的搜索效率为 O ( l o g n ) O(log n) O(logn)，尽管平衡性略逊于AVL 树，但维护成本更低
实际应用优势

在需要频繁动态更新的场景中，红黑树的统计性能更优，是效率与实用性平衡的典范

🔜 下一篇内容预告

在接下来的篇章中，我们将深入探讨红黑树最核心的操作------插入操作，重点分析：

"红插"原则：新节点为什么默认为红色
平衡调整策略：变色与旋转（左旋、右旋）的组合运用
双红冲突处理：叔叔节点颜色不同时的差异化处理方案

掌握这些情况及其处理流程，是真正理解和应用红黑树的关键。敬请期待！

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