《P1082 [NOIP 2012 提高组] 同余方程》

题目描述

求关于 x 的同余方程 ax≡1(modb) 的最小正整数解。

输入格式

一行，包含两个整数 a,b，用一个空格隔开。

输出格式

一个整数 x0​，即最小正整数解。输入数据保证一定有解。

输入输出样例

输入 #1复制

3 10

输出 #1复制

7

说明/提示

数据规模与约定

• 对于 40% 的数据，2≤b≤1,000；
• 对于 60% 的数据，2≤b≤50,000,000；
• 对于 100% 的数据，2≤a,b≤2,000,000,000。

代码实现：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define ll long long

ll pow(ll a, ll b, ll p) {
    ll base = a, res = 1;
    while (b > 0) {
        if (b & 1) {
            res *= base;
            res %= p;
        }
        base *= base;
        base %= p;
        b >>= 1;
    }
    return res;
}

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    int a, mod;
    cin >> a >> mod;
    ll t = 1, tmp = mod, cnt = 0;
    while (!(tmp & 1)) {
        cnt++;
        tmp >>= 1;
    }
    t *= pow(2, cnt - 1, mod);
    for (int i = 3; i * i <= tmp; i += 2) {
        cnt = 0;
        while (tmp % i == 0) {
            cnt++;
            tmp /= i;
        }
        if (cnt > 0) {
            t = t * (i - 1) % mod * pow(i, cnt - 1, mod) % mod;
        }
    }
    if (tmp != 1) t *= (tmp - 1);
    cout << pow(a, t - 1, mod) % mod << endl;
    return 0;
}