平面薄片对质点的引力：从牛顿定律到三重积分的完整推导

引言

在物理学和工程学中，计算连续质量分布对质点的引力是一个经典问题。平面薄片作为二维质量分布，其引力计算涉及向量微积分和对称性分析。本文将从牛顿万有引力定律出发，详细推导平面薄片引力的积分公式，并探讨不同计算方法的应用场景。

1. 物理模型与数学框架

1.1 问题设定

考虑位于xy平面的薄片区域D，其面密度函数为ρ(x, y)。空间中的质点P₀位于(x₀, y₀, z₀)，质量为m（为简化取m=1）。薄片上的质量微元dm = ρ(x, y)dA对质点产生引力。

1.2 万有引力定律的向量形式

牛顿万有引力定律的完整向量表达式为：

\mathbf{F} = G\frac{m_1 m_2}{r^2}\hat{\mathbf{r}}

其中r^\hat{\mathbf{r}}r^是从施力物体指向受力物体的单位向量。将r^=r/r\hat{\mathbf{r}} = \mathbf{r}/rr^=r/r代入，得到：

\mathbf{F} = G\frac{m_1 m_2}{r^3}\mathbf{r}

注意：这里分母出现r³而不是r²，是因为单位向量包含了1/r的因子。

2. 引力分量的积分公式推导

2.1 位置向量与距离

从质量微元Q = (x, y, 0)到质点P₀的向量：

\mathbf{r} = (x_0 - x, y_0 - y, z_0)

距离：

r = \sqrt{(x_0 - x)^2 + (y_0 - y)^2 + z_0^2}

2.2 引力微元的分量

根据向量形式的引力公式：

d\mathbf{F} = G\frac{dm}{r^3}\mathbf{r} = G\rho(x,y)dA\frac{(x_0-x, y_0-y, z_0)}{r^3}

分量形式为：

\begin{aligned}
dF_x &= G\rho(x,y)\frac{x_0-x}{r^3}dA \\
dF_y &= G\rho(x,y)\frac{y_0-y}{r^3}dA \\
dF_z &= G\rho(x,y)\frac{z_0}{r^3}dA
\end{aligned}

2.3 总引力的积分公式

对薄片区域D积分，得到总引力的三个分量：

\boxed{
\begin{aligned}
F_x &= G\iint_D \rho(x,y)\frac{x_0-x}{[(x_0-x)^2+(y_0-y)^2+z_0^2]^{3/2}}dxdy \\
F_y &= G\iint_D \rho(x,y)\frac{y_0-y}{[(x_0-x)^2+(y_0-y)^2+z_0^2]^{3/2}}dxdy \\
F_z &= G\iint_D \rho(x,y)\frac{z_0}{[(x_0-x)^2+(y_0-y)^2+z_0^2]^{3/2}}dxdy
\end{aligned}}

3. 对称性分析：为什么水平分量常为零

3.1 对称性原理

引力分量的被积函数具有奇偶性：

• Fₓ中的因子(x₀ - x)关于直线x = x₀是奇函数
• Fᵧ中的因子(y₀ - y)关于直线y = y₀是奇函数
• 距离r关于这些直线是对称的

3.2 对称性条件

若薄片区域D和密度函数ρ满足：

1. 关于x = x₀对称：∀(x,y)∈D ⇒ (2x₀-x, y)∈D，且ρ(2x₀-x, y) = ρ(x, y)
2. 关于y = y₀对称：∀(x,y)∈D ⇒ (x, 2y₀-y)∈D，且ρ(x, 2y₀-y) = ρ(x, y)

则对称点的贡献相互抵消，Fₓ = Fᵧ = 0。

3.3 重要特例

• 圆盘对轴线上质点：圆盘关于z轴对称，质点在z轴上 ⇒ Fₓ = Fᵧ = 0
• 无限大均匀平面：完全对称 ⇒ 只有F_z ≠ 0

4. 经典例子：均匀圆盘对轴线上质点的引力

4.1 问题简化

设圆盘半径a，均匀密度ρ，质点位于(0,0,h)，h>0。由对称性：Fₓ = Fᵧ = 0。

4.2 F_z的计算

F_z = G\rho h \iint_{x^2+y^2\leq a^2} \frac{dxdy}{(x^2+y^2+h^2)^{3/2}}

采用极坐标变换：

\begin{aligned}
F_z &= G\rho h \int_0^{2\pi}d\theta\int_0^a \frac{R dR}{(R^2+h^2)^{3/2}} \\
&= 2\pi G\rho h \int_0^a \frac{R dR}{(R^2+h^2)^{3/2}}
\end{aligned}

4.3 积分计算

令u = R² + h²，则du = 2R dR：

\begin{aligned}
\int_0^a \frac{R dR}{(R^2+h^2)^{3/2}} &= \frac{1}{2}\int_{h^2}^{a^2+h^2} u^{-3/2}du \\
&= \left[ -u^{-1/2} \right]_{h^2}^{a^2+h^2} \\
&= \frac{1}{h} - \frac{1}{\sqrt{a^2+h^2}}
\end{aligned}

4.4 最终结果

F_z = 2\pi G\rho h\left(\frac{1}{h} - \frac{1}{\sqrt{a^2+h^2}}\right) = 2\pi G\rho\left(1 - \frac{h}{\sqrt{a^2+h^2}}\right)

4.5 极限情况分析

1. a → ∞（无限大平面）：

   \lim_{a\to\infty} F_z = 2\pi G\rho

   与h无关，引力的重要特性。

2. h ≫ a（远场近似）：

   F_z \approx G\frac{\pi a^2\rho}{h^2} = G\frac{M}{h^2}

   退化为点质量引力，M为圆盘总质量。

5. 数值计算方法

5.1 直接数值积分

对于一般形状的薄片，可使用数值积分方法：

import numpy as np
from scipy import integrate

def gravitational_force(rho_func, D, P0, G=1):
    """计算薄片对质点的引力"""
    x0, y0, z0 = P0
    
    def integrand_x(x, y):
        r = np.sqrt((x0-x)**2 + (y0-y)**2 + z0**2)
        return G * rho_func(x,y) * (x0-x) / r**3
    
    def integrand_y(x, y):
        r = np.sqrt((x0-x)**2 + (y0-y)**2 + z0**2)
        return G * rho_func(x,y) * (y0-y) / r**3
    
    def integrand_z(x, y):
        r = np.sqrt((x0-x)**2 + (y0-y)**2 + z0**2)
        return G * rho_func(x,y) * z0 / r**3
    
    # 使用scipy的积分函数
    Fx, err_x = integrate.dblquad(integrand_x, D.xmin, D.xmax,
                                  lambda x: D.ymin(x), lambda x: D.ymax(x))
    # 类似计算Fy, Fz
    
    return np.array([Fx, Fy, Fz])

5.2 蒙特卡洛方法

对于复杂区域，可采用蒙特卡洛积分：

def monte_carlo_gravitational_force(rho_func, D, P0, n_samples=100000, G=1):
    """蒙特卡洛方法计算引力"""
    x0, y0, z0 = P0
    samples = D.random_samples(n_samples)
    
    F = np.zeros(3)
    for x, y in samples:
        r_vec = np.array([x0-x, y0-y, z0])
        r = np.linalg.norm(r_vec)
        F += G * rho_func(x,y) * r_vec / r**3
    
    area = D.area()
    return F * area / n_samples

6. 工程应用与拓展

6.1 实际应用场景

1. 重力勘探：通过测量重力异常推断地下密度分布
2. 卫星轨道：考虑地球非球形引力场的影响
3. 微机电系统：微观尺度下的引力计算
4. 天体物理：星系盘对恒星的引力

6.2 拓展到三维情况

将薄片推广到三维体，引力公式变为三重积分：

\mathbf{F} = G\iiint_V \rho(\mathbf{r}')\frac{\mathbf{r}-\mathbf{r}'}{|\mathbf{r}-\mathbf{r}'|^3}dV'

这在地球物理学和天体力学中有重要应用。

6.3 非均匀密度处理

对于密度分层的情况，可将薄片分解为多个均匀层分别计算，再叠加结果。

7. 总结与展望

平面薄片引力问题完美展示了如何将物理定律转化为数学积分问题。关键点包括：

1. 正确使用万有引力定律的向量形式
2. 利用对称性简化计算
3. 选择合适的坐标系（如极坐标）
4. 理解极限情况的物理意义

随着计算技术的发展，这类问题可通过数值方法解决更复杂的实际情况。未来的研究方向包括：

• 非均匀、各向异性材料的引力计算
• 相对论修正下的引力计算
• 引力与电磁力的耦合效应

参考文献

1. Marion, J. B., & Thornton, S. T. (1995). Classical Dynamics of Particles and Systems.
2. Griffiths, D. J. (2017). Introduction to Electrodynamics.
3. Arfken, G. B., Weber, H. J., & Harris, F. E. (2013). Mathematical Methods for Physicists.

---

本文详细推导了平面薄片引力的积分公式，通过对称性分析和具体例子展示了计算方法，并讨论了实际应用和数值实现。理解这些原理对于物理、工程和地球科学领域的研究具有重要意义。