单调队列
1. 什么是单调队列？
单调队列，顾名思义，就是存储的元素 要么单调递增要么单调递减的队列 。注意，这⾥的队列和普通 的队列不⼀样，是⼀个 双端队列。
2. 单调队列解决的问题
⼀般⽤于解决滑动窗⼝内最⼤值最⼩值问题，以及优化动态规划。
2.1 【模板】单调队列
题⽬来源： 洛⾕
题⽬链接： P1886 滑动窗⼝ /【模板】单调队列
难度系数： ★★
题目描述
有一个长为 n 的序列 a，以及一个大小为 k 的窗口。现在这个窗口从左边开始向右滑动，每次滑动一个单位，求出每次滑动后窗口中的最小值和最大值。
例如，对于序列 [1,3,−1,−3,5,3,6,7] 以及 k=3，有如下过程：
窗口位置[1 3 -1] -3 5 3 6 7 1 [3 -1 -3] 5 3 6 7 1 3 [-1 -3 5] 3 6 7 1 3 -1 [-3 5 3] 6 7 1 3 -1 -3 [5 3 6] 7 1 3 -1 -3 5 [3 6 7]最小值−1−3−3−333最大值335567
输入格式
输入一共有两行，第一行有两个正整数 n,k；
第二行有 n 个整数，表示序列 a。
输出格式
输出共两行，第一行为每次窗口滑动的最小值；
第二行为每次窗口滑动的最大值。
输入输出样例
输入 #1复制
8 3
1 3 -1 -3 5 3 6 7输出 #1复制
-1 -3 -3 -3 3 3
3 3 5 5 6 7说明/提示
【数据范围】
对于 50% 的数据，1≤n≤105；
对于 100% 的数据，1≤k≤n≤106，ai∈[−231,231)。
【解法】
窗⼝内最⼤值：
从左往右遍历元素，维护⼀个单调递减的队列：
• 当前元素进队之后，注意维护队列内的元素在⼤⼩为 k 的窗⼝内；
• 此时队头元素就是最⼤值。
窗⼝内最⼩值：
从左往右遍历元素，维护⼀个单调递增的队列：
• 当前元素进队之后，注意维护队列内的元素在⼤⼩为 k 的窗⼝内；
• 此时队头元素就是最⼩值。
【参考代码】
cpp
#include <iostream>
#include <deque> // 行2：导入双端队列（可以从队头/队尾删元素）
using namespace std;
const int N = 1e6 + 10; // 行4：序列最长100万+10个数字
int n, k; // 行5：n是序列长度，k是窗口大小
int a[N]; // 行6：存储序列的数字（a[1]是第一个，a[2]第二个...）
int main() // 行7：程序入口
{
cin >> n >> k; // 行9：读入n和k（比如8和3）
for(int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i]; // 行10：读入序列，存到a[1]-a[8]
deque<int> q; // 行12：双端队列，存的是数字的"下标"（不是数字本身）
// 第一部分：算窗口最小值（维护单调递增队列）
for(int i = 1; i <= n; i++) // 行15：遍历每个数字（从第1个到第8个）
{
// 行17：如果队列不为空，且队尾下标对应的数字 >= 当前数字 → 删掉队尾
while(q.size() && a[q.back()] >= a[i]) q.pop_back();
q.push_back(i); // 行18：把当前数字的下标加入队尾
// 行20：判断队列里的数字是否超出窗口范围（窗口长度不能超过k）
if(q.back() - q.front() + 1 > k) q.pop_front();
// 行22：只有当i >= k时（窗口已经滑够3个数字），才输出队头的最小值
if(i >= k) cout << a[q.front()] << " ";
}
cout << endl; // 行24：最小值输出完，换行
// 第二部分：算窗口最大值（维护单调递减队列）
q.clear(); // 行27：清空队列，重新用
for(int i = 1; i <= n; i++) // 行28：再次遍历每个数字
{
// 行30：如果队列不为空，且队尾下标对应的数字 <= 当前数字 → 删掉队尾
while(q.size() && a[q.back()] <= a[i]) q.pop_back();
q.push_back(i); // 行31：把当前数字的下标加入队尾
// 行33：判断是否超出窗口范围，超出则删队头
if(q.back() - q.front() + 1 > k) q.pop_front();
// 行35：i >= k时，输出队头的最大值
if(i >= k) cout << a[q.front()] << " ";
}
cout << endl; // 行37：最大值输出完，换行
return 0; // 行38：程序结束
}2.2 质量检测
题⽬来源： 洛⾕
题⽬链接： P2251 质量检测
难度系数：★★
题目描述
为了检测生产流水线上总共 N 件产品的质量，我们首先给每一件产品打一个分数 A 表示其品质，然后统计前 M 件产品中质量最差的产品的分值 Qm=min{A1,A2,⋯,Am}，以及第 2 至第 M+1 件的 Qm+1，Qm+2...... 最后统计第 N−M+1 至第 N 件的 Qn。根据 Q 再做进一步评估。
请你尽快求出 Q 序列。
输入格式
输入共两行。
第一行共两个数 N、M，由空格隔开。含义如前述。
第二行共 N 个数，表示 N 件产品的质量。
输出格式
输出共 N−M+1 行。
第 1 至 N−M+1 行每行一个数，第 i 行的数 Qi+M−1。含义如前述。
输入输出样例
输入 #1复制
10 4
16 5 6 9 5 13 14 20 8 12输出 #1复制
5
5
5
5
5
8
8说明/提示
数据范围
对于 30% 的数据，N≤1000。
对于 100% 的数据，M≤N≤105,Ai≤106。
【解法】
滑动窗⼝内的最⼩值~
cpp
#include <iostream>
#include <deque>
using namespace std;
const int N = 1e6 + 10; // 最多支持100万+10个产品
int n, k; // n是产品总数，k是窗口大小（对应题目里的M）
int a[N]; // 存储每个产品的质量分（a[1]是第1个，a[2]是第2个...）
int main()
{
cin >> n >> k; // 读入n=10，k=4
deque<int> q; // 双端队列，存的是"产品的下标"（不是分数本身）
// 遍历每个产品（从第1个到第10个）
for(int i = 1; i <= n; i++)
{
cin >> a[i]; // 读入当前产品的分数（比如i=1时读16，i=2时读5...）
// 核心1：维护队列"从小到大"（单调递增），保证队头是最小值
// 如果队列不为空，且队尾下标对应的分数 ≥ 当前分数 → 删掉队尾
while(q.size() && a[q.back()] >= a[i]) q.pop_back();
q.push_back(i); // 把当前产品的下标加入队尾
// 核心2：保证队列里的下标都在窗口内（窗口长度不能超过k）
// 当前下标 - 队头下标 +1 > k → 队头超出窗口，删掉
if(i - q.front() + 1 > k) q.pop_front();
// 核心3：窗口滑够k个产品后，输出队头对应的最小值（每行一个）
if(i >= k) cout << a[q.front()] << endl;
}
return 0;
}