【Golang】LeetCode 300. 最长递增子序列

300. 最长递增子序列

题目描述

思路

解决这道题有两种思路，一种是动态规划，一种是二分查找，我们分别用两种思路来解决这道题目。

思路 1：动态规划

首先，这道题目可以使用动态规划来解决。这道题使用动态规划的方法比较有意思，我们维护一个数组dp用来记录从下标0开始到位置i这个区间内的最长递增子序列的长度是多少。具体来说，dp[i] = 4指的就是0...i这个区间内，最长递增子序列的长度为4。那么我们应该如何维护dp数组呢？答案是通过一个双层循环来进行维护。

具体来说，我们在最外层循环使用i来遍历整个数组，在第二层循环使用j来遍历0...i。如果满足nums[i] > nums[j]，就说明nums[j], nums[i]构成一个单调递增序列，这个序列的长度至少为2（答案至少是1，因为单个元素本身就是长度为1的单调子序列）。由此我们可以得到状态转移方程，dp[i] = max(dp[j] + 1, dp[i])。由于我们是从前往后顺序对nums数组进行遍历的，因此在遍历的过程中会完成对dp数组的维护。

最终我们需要得知最长递增子序列，也就是dp数组当中的最大值，直接使用 Golang 的库函数slices.Max(dp)即可。

思路 2：二分查找

原题目描述当中提到，请使用O(nlog⁡n)O(n\log{n})O(nlogn)的算法来完成进阶做法，实际上这道题目的最优解是使用二分查找。需要注意的是，我们只能对明确具有单调性质的序列使用二分查找算法，显然原题当中给出的数组并不是一个具有单调性的数组，那么我们如何使用二分查找呢？

实际上，我们需要维护一个额外的数组，它记录的就是当前子序列0...i的最长递增子序列，我们将其命名为tails，并初始化其长度为n（n := len(nums)）。我们对nums数组进行遍历，期间我们同时维护两个信息，分别是tails数组以及其右边界的尾后下标。针对每个nums[i]，我们需要在区间0...res当中进行一次二分查找，来找到放置nums[i]到tails数组（当前最长上升子序列）当中的位置。当我们找到这个位置之后，令tails[l] = nums[i]，并判断r和res的关系：如果r == res，就说明右边界没有移动，新放置到tails当中的元素在res这个位置上，此时需要令res += 1；否则，说明tails[0..<res]的某个位置被修改了，此时不需要移动res。

举个简单的例子，针对序列[7, 8, 9, 1, 2, 3]，我们肉眼可以观察到最长上升子序列的长度就是3。对应到该算法当中，我们初始化了一个长度为6的序列tails，初始时res的位置是0。接下来我们开始对nums进行遍历，每次遍历时令l, r := 0, res。显然在第一次遍历时，l == r（它们都是0），我们放置tails[l] = nums[i]，此时的tails = [7, 0, 0, 0, 0, 0]，由于res == r，它们都是0，所以令res += 1。

接下来，nums[1] == 8，初始时l, r := 0, 1，通过二分查找，最终的l == 1，因此将nums[1]的元素8放置到tails[1]这个位置。由于此时仍然有r == res，因此res += 1。

然后，nums[2] == 9，和方才的情况相同，tails[3] == 9，res += 1。

从 nums[3] == 1开始，情况开始不同。此时l, r := 0, 3，通过二分查找，放置nums[3] == 1的位置就是tails[0]，此时tails[0..<res]的子序列变为了[1, 8, 9]，最长上升子序列的长度仍然是3，只不过序列的值变化了。由于右指针r向左移动了，不满足r == res，因此res不必移动。

以此类推，最终tails[0..<res]的值其实是[1, 2, 3]，长度就是res的值。

由此，最终的答案就是res。

Golang 题解

思路 1：动态规划

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func lengthOfLIS(nums []int) int {
    n := len(nums)
    dp := make([]int, n)

    for i := 0; i < n; i ++ {
        dp[i] = 1
        for j := 0; j < i; j ++ {
            if nums[j] < nums[i] {
                dp[i] = max(dp[i], dp[j] + 1)
            }
        }
    }

    return slices.Max(dp)
}

思路 2：二分查找

go 复制代码

func lengthOfLIS(nums []int) int {
    n := len(nums)
    tails, res := make([]int, n), 0

    for i := 0; i < n; i ++ {
        l, r := 0, res
        for l < r {
            mid := (l + r) / 2
            if tails[mid] < nums[i] {
                l = mid + 1
            } else {
                r = mid
            }
        }
        tails[l] = nums[i]
        if r == res {
            res += 1
        }
    }

    return res
}