力扣--1411. 给 N x 3 网格图涂色的方案数

class Solution {
	private static final int MOD = 1_000_000_007;

	// 全局 memo，记忆化的内容可以在不同测试数据间共享
	private static Map<Integer, Integer> memo = new HashMap<>();

	public int numOfWays(int n) {
		return dfs(n, 0, 0, 0);
	}

    // (i, j)：当前位置 
    // preRow：上一行（i+1 行）的颜色
    // curRow：当前这一行已填入的颜色
	private int dfs(int i, int j, int preRow, int curRow) {
		if (i == 0) { // 所有格子都已涂色
			return 1; // 找到一个合法方案
		}

		if (j == 3) { // i 行已涂色
		    // 开始对 i-1 行涂色，curRow 变成 preRow
			return dfs(i - 1, 0, curRow, 0);
		}

        // 参数压缩到一个 int 中
		int key = (i << 14) | (j << 12) | (preRow << 6) | curRow;
		if (memo.containsKey(key)) { // 之前计算过
			return memo.get(key);
		}

		int res = 0;
		for (int color = 0; color < 3; color++) { // 枚举 (i, j) 的颜色 color
			if (preRow > 0 && color == (preRow >> (j * 2) & 3) || // 不能和下面相邻格子 (i+1, j) 颜色相同
				j > 0 && color == (curRow >> ((j - 1) * 2) & 3)) { // 不能和左侧相邻格子 (i, j-1) 颜色相同
				continue;
			}
			res = (res + dfs(i, j + 1, preRow, curRow | (color << (j * 2)))) % MOD;
		}

		memo.put(key, res); // 记忆化
		return res;
	}
}

代码二：

java 复制代码

public int numOfWays(int n) {
    final int MOD = 1_000_000_007; // 大数取模，防止溢出
    int[] f = new int[n + 1];
    
    f[0] = 3;  // 虚拟值，让公式成立
    f[1] = 12; // n=1 的真实答案
    
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        // 用 long 防止中间计算溢出
        f[i] = (int) ((f[i - 1] * 5L - f[i - 2] * 2L) % MOD);
    }
    
    // 因为减法可能导致负数，加 MOD 再取模确保结果 ≥0
    return (f[n] + MOD) % MOD;
}

代码一分析：

代码一采用DFS+记忆化的方法，从下往上逐格涂色：

状态表示：
- (i, j) 表示当前正在涂第 i 行第 j 列
- preRow 表示下一行（i+1行）的颜色状态（用6位二进制表示）
- curRow 表示当前行已涂色的状态
状态转移：
- 每个格子尝试三种颜色
- 需要检查：不能与下方格子颜色相同，不能与左侧格子颜色相同
- 使用位运算高效地存储和检查颜色状态
记忆化优化：
- 将(i, j, preRow, curRow)压缩为一个整数作为key
- 避免重复计算相同状态

代码二分析（公式推导）：

关键观察：每行只有两种模式

由于每行只有 3 个格子，且左右不能同色，我们可以枚举所有合法的单行涂色方式。

用三种颜色 A、B、C 表示，合法的行模式只有两类：

类型 1：ABA 型（首尾相同）

例如：红-黄-红、蓝-红-蓝

→ 满足：color[0] == color[2] != color[1]

类型 2：ABC 型（三色全不同）

例如：红-黄-蓝、蓝-绿-红

→ 满足：color[0] != color[1] != color[2] 且 color[0] != color[2]

💡 总共合法单行方案数：

ABA 型：3 × 2 = 6 种（选首尾颜色 3 种，中间不同 2 种）

ABC 型：3 × 2 × 1 = 6 种

共 12 种 → 所以 f(1) = 12

动态规划状态设计

设：

a[i] = 第 i 行是 ABA 型 的方案总数
b[i] = 第 i 行是 ABC 型 的方案总数

则总方案数：f[i] = a[i] + b[i]

推导转移关系（关键！）

考虑第 i-1 行和第 i 行的颜色不能上下相同：

上一行类型	下一行可接的 ABA 数量	下一行可接的 ABC 数量
ABA	3	2
ABC	2	2

这个可以通过枚举验证（略，但标准结论如此）

于是得到递推式：

复制代码

a[i] = 3 * a[i-1] + 2 * b[i-1]
b[i] = 2 * a[i-1] + 2 * b[i-1]

所以总方案数：

复制代码

f[i] = a[i] + b[i]
     = (3a + 2b) + (2a + 2b)
     = 5a + 4b

但我们希望只用 f[i] 表示。注意到：

f[i-1] = a[i-1] + b[i-1]
f[i-2] = a[i-2] + b[i-2]

通过代数消元（或矩阵快速幂特征方程），可以推出一个二阶线性递推式：

f[i] = 5 * f[i-1] - 2 * f[i-2]

结语：

网格涂色问题展示了两种不同的解题思路：

通用方法（记忆化搜索）：适合大多数约束满足问题，通过状态压缩和记忆化优化，可以处理中等规模的问题。
特殊方法（数学推导）：通过发现问题的内在规律，得到简洁的递推公式，适用于大规模输入。

对于本题，由于n最大可达5000，数学递推方法明显更优。这也提醒我们，在解决算法问题时，不仅要掌握通用的解题技巧，也要注意观察问题特点，寻找更高效的专用解法。

推荐使用代码二的递推方法，它不仅效率高，而且代码简洁，是解决此类问题的优选方案。

希望这对大家有所帮助！一起加油！