[数字信号处理-入门] 采样定理
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注：本文仅对所述内容做了框架性引导，具体细节可查询其余相关资料or源码
参考文章：各方资料
文章目录
时域采样
| 符号 | 说明 |
|---|---|
| f h f_h fh | 信号最高频率 |
| f s f_s fs | 采样频率 |
| T T T | 采样周期 |
奈奎斯特抽样定理:
f s > 2 f h f_s>2f_h fs>2fh
输入
输入为带限信号
(信号的频率成分只分布在0~ f h f_h fh范围内， f h f_h fh为最高截止频率)
奈奎斯特频率/折叠频率: f s / 2 f_s/2 fs/2
采样周期: T = 1 / f s T=1/f_s T=1/fs
( x ( n T ) x(nT) x(nT)是 x ( t ) x(t) x(t)在 t = n T t=nT t=nT时刻的采样值)
采样角频率: w s = 2 π f s w_s=2\pi f_s ws=2πfs
重建与混叠
若 f s ≤ 2 f h f_s≤2f_h fs≤2fh，会发生混叠（高频分量会折叠到低频区域），无法无失真重建原始信号
重建信号: 用离散的采样点恢复的连续时间信号
频率 f f f的信号被 f s f_s fs采样后, 若混叠:
- 重建信号的频率 = ∣ f − n f s ∣ \mathbf{|f-nf_s|} ∣f−nfs∣
- n取让结果最接近0的数
采样后的离散信号频谱，是原始连续信号频谱以采样角频率 w s w_s ws为周期进行周期性延拓得到的
频域采样
| 符号 | 说明 |
|---|---|
| Δ f Δf Δf | 频率分辨率(频率间隔) |
| T 0 T_0 T0 | 延拓周期 |
| T T T | 信号持续时间 |
理论基础是傅里叶变换的对偶性
T ≤ T 0 T \leq T_0 T≤T0
信号持续时间: T T T
延拓周期: T 0 = 1 / Δ f T_0=1/Δf T0=1/Δf
若对 X ( j ω ) X(jω) X(jω)在频域以频率间隔 Δ f Δf Δf进行采样，采样点数为 N N N，则对应的时域信号会被周期延拓，延拓周期 T 0 = 1 / Δ f T_0=1/Δf T0=1/Δf
为了使时域延拓后的信号不发生重叠，原始时域信号x(t)必须是时限信号
设原始时域信号 x ( t ) x(t) x(t)的持续时间为 T T T，为避免时域延拓重叠，需选择频域采样间隔 Δ f ≤ 1 / T Δf≤1/T Δf≤1/T，即延拓周期 T 0 = 1 / Δ f ≥ T T₀=1/Δf≥T T0=1/Δf≥T
频域采样点数N与采样间隔Δf的关系： N = f s / Δ f N=f_s/Δf N=fs/Δf
DFT的频率范围
DFT 的频谱范围由采样频率 f s f_s fs决定
- 实际覆盖 0 ∼ f s / 2 0∼f_s/2 0∼fs/2（正频率范围）
-> 所能分辨的最高频率 : f s / 2 f_s/2 fs/2 - 但频率索引对应 0 ∼ f s 0∼f_s 0∼fs（含负频率混叠）
时域与频域采样的对偶关系
| 对比维度 | 时域采样 | 频域采样 |
|---|---|---|
| 操作对象 | 连续时域信号x(t) | 连续频域信号X(jω) |
| 核心定理 | 奈奎斯特定理：fₛ>2fₕ（避免频域重叠） | 频域采样定理：T₀≥T（避免时域重叠） |
| 结果影响 | 频域周期性延拓 | 时域周期性延拓 |
| 失真类型 | 混叠失真（频域重叠） | 时域重叠失真 |
-
时域采样关注"避免频域混叠"，核心是采样频率大于2倍最高截止频率
-
频域采样关注"避免时域重叠"，核心是延拓周期大于原始时域信号的持续时间
-
两者通过傅里叶变换对偶性关联，共同构成离散信号处理的基础（如DFT、FFT的理论前提）
例题
