【算法进阶】滑动窗口与前缀和：从"和为 K"到"最小覆盖子串"的极限挑战
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1. 题目一：和为 K 的子数组 (LeetCode 560)
题目背景
这道题虽然被归类在子串/子数组中，但它是**"滑动窗口"思想的变体------前缀和 + 哈希表**。当子数组包含负数时，标准的滑动窗口无法工作，必须借助前缀和。
核心技巧：前缀和思想
- 定义为范围内的元素之和。
- 任意子数组的和可以表示为 。
- 我们需要寻找满足的个数，等价于 。
java
public class Solution {
public int subarraySum(int[] nums, int k) {
int count = 0; // 记录符合条件的子数组数量
int pre = 0; // 累加前缀和
// HashMap 存储 (前缀和, 该前缀和出现的次数)
HashMap<Integer, Integer> map = new HashMap<>();
map.put(0, 1); // 初始化：前缀和为 0 出现了 1 次（处理从索引 0 开始的子数组）
for (int num : nums) {
pre += num; // 计算当前前缀和
// 如果存在 pre - k，说明从那个位置到当前位置的子数组和正好为 k
if (map.containsKey(pre - k)) {
count += map.get(pre - k); // 累加次数
}
// 将当前前缀和存入或更新 map
map.put(pre, map.getOrDefault(pre, 0) + 1);
}
return count;
}
}2. 题目二：滑动窗口最大值 (LeetCode 239)
题目背景
这是固定窗口 的极致优化版。普通遍历是 ，通过单调队列可以优化到 。
核心技巧：单调双端队列 (Deque)
- 队列性质：队列中存储元素的索引，且对应的值从大到小排列。
- 入队逻辑：新元素进入前，将队列后端所有比它小的元素全部弹出（因为它们永远不可能成为后续窗口的最大值了）。
- 出队逻辑：当窗口滑动时，检查队列头部的索引是否已经超出了窗口左边界，若是则移除。
java
class Solution {
public int[] maxSlidingWindow(int[] nums, int k) {
int n = nums.length;
// 单调双端队列，存放下标
Deque<Integer> deque = new LinkedList<Integer>();
// 初始化第一个窗口
for (int i = 0; i < k; ++i) {
while (!deque.isEmpty() && nums[i] >= nums[deque.peekLast()]) {
deque.pollLast(); // 保持队列单调递减
}
deque.offerLast(i);
}
int[] ans = new int[n - k + 1];
ans[0] = nums[deque.peekFirst()]; // 队头永远是当前窗口最大值
for (int i = k; i < n; ++i) {
// 入：新元素入队逻辑
while (!deque.isEmpty() && nums[i] >= nums[deque.peekLast()]) {
deque.pollLast();
}
deque.offerLast(i);
// 出：移除离开窗口的过期下标
while (deque.peekFirst() <= i - k) {
deque.pollFirst();
}
// 记录当前窗口结果
ans[i - k + 1] = nums[deque.peekFirst()];
}
return ans;
}
}3. 题目三：最小覆盖子串 (LeetCode 76)
题目背景
这是变长滑动窗口最经典、也是最难的模板题。
核心技巧：双指针+计数器
- **右指针
right**：负责寻找"可行解"，不断扩大窗口直到覆盖t中所有字符。 - **左指针
left**：负责寻找"最优解"，在保持覆盖的情况下，不断收缩窗口以获得最短长度。 - **有效计数
valid**：记录当前窗口内有多少种字符达到了t要求的频次。
java
class Solution {
public String minWindow(String s, String t) {
int[] ori = new int[128]; // 记录 t 中字符频次
int[] cnt = new int[128]; // 记录当前窗口字符频次
int valid = 0, needMatch = 0; // 匹配成功的种类数 & 需要匹配的总种类数
for (char c : t.toCharArray()) {
if (ori[c] == 0) needMatch++;
ori[c]++;
}
int left = 0, right = 0, minLen = Integer.MAX_VALUE, start = -1;
while (right < s.length()) {
char cur = s.charAt(right++); // 扩大窗口
if (ori[cur] > 0) {
cnt[cur]++;
if (cnt[cur] == ori[cur]) valid++; // 某种字符数量达标
}
// 当窗口满足条件，开始收缩寻找最优解
while (valid == needMatch) {
if (right - left < minLen) {
minLen = right - left;
start = left;
}
char d = s.charAt(left++); // 缩小窗口
if (ori[d] > 0) {
if (cnt[d] == ori[d]) valid--;
cnt[d]--;
}
}
}
return start == -1 ? "" : s.substring(start, start + minLen);
}
}4. 深度思考：滑动窗口类题目的通用心法
这类题目通常具有单调性：即窗口扩大时，某个属性（如和、字符种类）单调递增；窗口缩小时，该属性单调递减。
思考流程模型
- 属性判断：
- 窗口固定吗？ 固定则用
i-k逻辑（239题）。 - 能用简单双指针吗？ 如果数组里有负数，简单的
left++可能让和变大也可能变小，此时单调性破坏，需改用前缀和（560题）。
- 窗口状态维护：
- 如何快速知道当前窗口是否满足条件？
- 是查
HashSet的size？还是对比数组？或者是维护一个valid计数器？
- 单调队列的应用场景：
- 当你不仅需要维护窗口的状态，还需要维护窗口内的最值（最大/最小）时，单调队列是标准解法。
额外拓展：双端队列 vs 堆
在"滑动窗口最大值"中，我们也可以使用大顶堆（PriorityQueue）。但堆的删除复杂度是 ，总复杂度 。而单调队列通过舍弃"永远没机会当最大值"的元素，实现了 ，这是算法逻辑上的降维打击。
希望这篇总结能帮你在刷题之路上更进一步！如果你对"单调栈"或者"二分查找"结合滑动窗口的题目感兴趣，可以随时告诉我。