集合的概念与运算

一、集合的概念
二、集合的表示法
- [1. 列举法](#1. 列举法)
- [2. 描述法](#2. 描述法)
三、集合的运算
- [1. 并集 (Union)](#1. 并集 (Union))
- [2. 交集 (Intersection)](#2. 交集 (Intersection))
- [3. 差集 (Difference)](#3. 差集 (Difference))
- [4. 补集 (Complement)](#4. 补集 (Complement))
- [5. 运算性质总结](#5. 运算性质总结)

一、集合的概念

专业定义

集合（Set）是具有某种特定性质 的事物的总体，这些事物称为集合的元素（Element）。

集合通常用大写字母 A , B , C , ... A, B, C, \dots A,B,C,... 表示，元素用小写字母 a , b , c , ... a, b, c, \dots a,b,c,... 表示。
若元素 a a a 属于集合 A A A，记作 a ∈ A a \in A a∈A；若不属于，记作 a ∉ A a \notin A a∈/A。不含任何元素的集合称为空集，记作 ∅ \varnothing ∅。

通俗解释

集合就是把一堆有共同特点的东西打包在一起，比如"全班同学（共同特征是都在同一个班）"可以是一个集合，"所有偶数（共同特征是都能被2整除）"也是一个集合。集合里的每个东西叫做元素，就像袋子里的每个苹果。

二、集合的表示法

1. 列举法

直接列出所有元素，用花括号括起来。
A = { 1 , 2 , 3 , 4 } A = \{1, 2, 3, 4\} A={1,2,3,4}

表示集合 A A A 包含数字 1, 2, 3, 4。

2. 描述法

描述元素的共同特征。
B = { x ∣ x 是正整数，且 x < 5 } B = \{x \mid x \text{ 是正整数，且 } x < 5\} B={x∣x 是正整数，且 x<5}

这表示集合 B B B 是小于 5 的正整数，即 B = { 1 , 2 , 3 , 4 } B = \{1,2,3,4\} B={1,2,3,4}。

举例说明

例1 ：用列举法表示方程 x 2 − 3 x + 2 = 0 x^2 - 3x + 2 = 0 x2−3x+2=0 的解集。

解：

解方程：
x 2 − 3 x + 2 = ( x − 1 ) ( x − 2 ) = 0 x^2 - 3x + 2 = (x-1)(x-2) = 0 x2−3x+2=(x−1)(x−2)=0

得 x = 1 x = 1 x=1 或 x = 2 x = 2 x=2。

因此解集为：
{ 1 , 2 } \{1, 2\} {1,2}

例2：用描述法表示所有奇数组成的集合。

解：

奇数可以表示为 2 n + 1 2n+1 2n+1（ n n n 为整数）。

所以集合为：
{ x ∣ x = 2 n + 1 , n ∈ Z } \{x \mid x = 2n+1, n \in \mathbb{Z}\} {x∣x=2n+1,n∈Z}

其中 Z \mathbb{Z} Z 表示整数集。

实际应用情景

计算机科学 ：数据库中的每张表可以看作一个数据集合；编程语言中的"集合"类型用于存储不重复的元素，比如 Python 的 set()。
日常生活：一个班级的所有学生、一家超市的所有商品，都可以视为集合。

三、集合的运算

专业定义

集合的运算是指按照特定规则，由已知集合构造出新集合的方法，主要包括并集、交集、差集和补集。

详细概念与通俗解释

1. 并集 (Union)

专业定义 ：

设 A A A 和 B B B 是两个集合，由所有属于 A A A 或属于 B B B 的元素组成的集合，称为 A A A 与 B B B 的并集，记作 A ∪ B A \cup B A∪B。
A ∪ B = { x ∣ x ∈ A 或 x ∈ B } A \cup B = \{ x \mid x \in A \ \text{或} \ x \in B \} A∪B={x∣x∈A 或 x∈B}

通俗解释 ：

把两个集合（比如两个购物清单）的所有东西合并在一起，重复的物品只算一次。就像把两个班级的学生合并成一个新班级。

2. 交集 (Intersection)

专业定义 ：

由既属于 A A A 又属于 B B B 的所有元素组成的集合，称为 A A A 与 B B B 的交集，记作 A ∩ B A \cap B A∩B。
A ∩ B = { x ∣ x ∈ A 且 x ∈ B } A \cap B = \{ x \mid x \in A \ \text{且} \ x \in B \} A∩B={x∣x∈A 且 x∈B}

大白话解释 ：

找出两个集合共同拥有的元素。比如找出两个朋友都喜欢看的电影。

3. 差集 (Difference)

专业定义 ：

由属于 A A A 但不属于 B B B 的所有元素组成的集合，称为 A A A 与 B B B 的差集，记作 A − B A - B A−B（或 A ∖ B A \setminus B A∖B）。
A − B = { x ∣ x ∈ A 且 x ∉ B } A - B = \{ x \mid x \in A \ \text{且} \ x \notin B \} A−B={x∣x∈A 且 x∈/B}

大白话解释 ：

在第一个集合里，去掉第二个集合也有的元素。比如从你的书单里去掉已经读过的书。

4. 补集 (Complement)

专业定义 ：

设 U U U 为全集， A ⊆ U A \subseteq U A⊆U，由 U U U 中所有不属于 A A A 的元素组成的集合，称为 A A A 的补集，记作 ∁ U A \complement_U A ∁UA 或 A c A^c Ac。
A c = { x ∈ U ∣ x ∉ A } A^c = \{ x \in U \mid x \notin A \} Ac={x∈U∣x∈/A}

大白话解释 ：

在一个大范围（全集）里，某个集合之外的所有元素。比如在全校学生中，某班学生之外的全体学生。

举例说明（含完整解题过程）
例1 ：设 A = { 1 , 2 , 3 , 4 } A = \{1, 2, 3, 4\} A={1,2,3,4}， B = { 3 , 4 , 5 , 6 } B = \{3, 4, 5, 6\} B={3,4,5,6}，求：

(1) A ∪ B A \cup B A∪B

(2) A ∩ B A \cap B A∩B

(3) A − B A - B A−B

(4) B − A B - A B−A

解题过程 ：

(1) 求并集 ：把两个集合的元素合并，重复的只写一次。
A ∪ B = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } A \cup B = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} A∪B={1,2,3,4,5,6}

(2) 求交集 ：找出两个集合都有的元素。
A ∩ B = { 3 , 4 } A \cap B = \{3, 4\} A∩B={3,4}

(3) 求差集 A − B A - B A−B ：在A中，去掉B也有的元素。

A中有：1, 2, 3, 4

B中有：3, 4, 5, 6

去掉3和4，剩下：
A − B = { 1 , 2 } A - B = \{1, 2\} A−B={1,2}

(4) 求差集 B − A B - A B−A ：在B中，去掉A也有的元素。

B中有：3, 4, 5, 6

A中有：1, 2, 3, 4

去掉3和4，剩下：
B − A = { 5 , 6 } B - A = \{5, 6\} B−A={5,6}

例2 ：设全集 U = { x ∣ x 是小于10的正整数 } U = \{x \mid x \text{是小于10的正整数}\} U={x∣x是小于10的正整数}， A = { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 } A = \{1, 3, 5, 7, 9\} A={1,3,5,7,9}，求 A c A^c Ac。

解题过程：

先明确全集： U = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 } U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\} U={1,2,3,4,5,6,7,8,9}
A是U中所有奇数
A的补集就是U中所有不属于A的元素，即所有偶数：
A c = { 2 , 4 , 6 , 8 } A^c = \{2, 4, 6, 8\} Ac={2,4,6,8}

实际应用情景

数据库查询（计算机科学）：

sql 复制代码

-- 并集：查询选修了数学或物理课的学生
SELECT student FROM math_class
UNION
SELECT student FROM physics_class;

-- 交集：查询同时选修数学和物理的学生
SELECT student FROM math_class
INTERSECT
SELECT student FROM physics_class;

-- 差集：查询选修了数学但没选修物理的学生
SELECT student FROM math_class
EXCEPT
SELECT student FROM physics_class;

购物清单合并（日常生活）：

你的购物清单：{牛奶，面包，鸡蛋}
家人的购物清单：{面包，水果，蔬菜}
合并清单（并集）：{牛奶，面包，鸡蛋，水果，蔬菜}
共同需要买的（交集）：{面包}
只有你需要买的（差集）：{牛奶，鸡蛋}

学生选课统计（教育管理）：

选数学的学生集合：M
选物理的学生集合：P
文理兼修的学生：M ∩ P
至少选一门理科的学生：M ∪ P
只选数学不选物理的学生：M - P

客户分析（商业）：

购买A产品的客户：集合A
购买B产品的客户：集合B
同时购买两种产品的客户：A ∩ B（可做捆绑销售）
只购买A产品的客户：A - B（可做精准推荐）

5. 运算性质总结

交换律 ： A ∪ B = B ∪ A A \cup B = B \cup A A∪B=B∪A， A ∩ B = B ∩ A A \cap B = B \cap A A∩B=B∩A
结合律 ： ( A ∪ B ) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C ) (A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) (A∪B)∪C=A∪(B∪C)
分配律 ： A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) A∪(B∩C)=(A∪B)∩(A∪C)
德摩根定律 ： ( A ∪ B ) c = A c ∩ B c (A \cup B)^c = A^c \cap B^c (A∪B)c=Ac∩Bc， ( A ∩ B ) c = A c ∪ B c (A \cap B)^c = A^c \cup B^c (A∩B)c=Ac∪Bc